Erdős-Borwein-Konstante

Die Erdős-Borwein-Konstante, benannt nach Paul Erdős und Peter Borwein, ist eine mathematische Konstante. Sie ist als die Summe der Kehrwerte der Mersenne-Zahlen definiert:

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=1{,}60669{\text{ }}51524{\text{ }}15291{\text{ }}76378{\text{ }}...$ (Folge A065442 in OEIS)

Folgende Darstellungen sind dazu äquivalent:

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2}}}}{\frac {2^{n}+1}{2^{n}-1}}$

$E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn}}}$

$E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)}}$

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n}}}$

wobei σ₀(n) = d(n) die Teileranzahl ist (Anzahl der positiven Teiler von n). Um die Äquivalenz zu beweisen, beachte man, dass alle Summen als Lambert-Reihen ausgedrückt und dann umsummiert werden können.

Die Konstante wurde bereits 1749 von Euler betrachtet. Erdős zeigte 1948, dass E eine irrationale Zahl ist. Borwein zeigte 1992, dass allgemein

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{q^{n}-r}}$     und     $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{q^{n}-r}}$

für jede ganze Zahl q ≠ 0, ±1 und jede rationale Zahl r ≠ 0, qⁿ irrational, aber nicht liouvillesch sind.

Literatur

• Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 355 und 357 (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Erdős-Borwein Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A038631 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von E)