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In der Mathematik sind periodische Funktionen eine besondere Klasse von Funktionen. Sie haben die Eigenschaft, dass sich ihre Funktionswerte in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Abstände zwischen dem Auftreten der gleichen Funktionswerte werden Periode genannt. Periodische Folgen können als Spezialfälle der periodischen Funktionen verstanden werden.

Reelle periodische FunktionenBearbeiten

 
Illustration einer periodischen Funktion mit der Periode  .

DefinitionBearbeiten

Eine reelle Zahl   ist eine Periode einer in   definierten Funktion, wenn gilt:

  •  
  •  

Die Funktion   ist periodisch, wenn sie mindestens eine Periode   zulässt. Man sagt dann auch,   sei „ -periodisch“.

Eigenschaften der Menge der Perioden und BeispieleBearbeiten

Für die Periode gelten folgende Eigenschaften:

  • Ist   eine Periode von  , so ist auch   eine Periode von  ;
  • Sind   und   zwei Perioden von  , so ist auch   mit   eine Periode von  .

Meist interessiert man sich für die kleinste positive Periode. Diese existiert für jede nichtkonstante stetige periodische Funktion. (Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder beliebigen Periode ungleich 0.) Wenn   eine kleinste positive Periode hat, so sind die Perioden von   die Vielfachen von  . Im anderen Fall ist die Menge der Perioden von   dicht in  .

BeispieleBearbeiten

 
Graph der Sinusfunktion  

Bekannte periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen, insbesondere der Sinus, der eine immer gleich bleibende Schwingung zwischen –1 und 1 durchführt, die sich im Abstand von   (  ist die Kreiszahl Pi) wiederholt.

DefinitionBearbeiten

Der Begriff der periodischen Funktion beschränkt sich nicht nur auf reelle Funktionen. Man kann ihn allgemeiner Definieren für Funktionen, auf deren Quellmenge eine Addition erklärt ist.

Sei also   eine (additive) Halbgruppe,   eine Menge und   eine Funktion. Existiert ein   mit

 

für alle  , dann heißt die Funktion   periodisch mit Periode  .[1]

BeispieleBearbeiten

Periodische FolgenBearbeiten

Da eine reelle Folge   eine Funktion von den natürlichen Zahlen   in die reellen Zahlen   ist, kann der Begriff der periodischen Folge als Spezialfall einer periodischen Funktion aufgefasst werden. Eine Folge heißt periodische, falls es ein   gibt, so dass für alle   die Gleichheit   gilt. Hierbei wurde ausgenutzt, dass die Menge der natürlichen Zahlen eine Halbgruppe ist.

Periodische Funktionen als Funktionen auf der KreislinieBearbeiten

Es sei   der Einheitskreis. Man kann periodische Funktionen auf   mit Periode   mit Funktionen auf   identifizieren: Einer Funktion   auf   entspricht die  -periodische Funktion

 .

Hierbei ist   eine Funktion auf dem Einheitskreis, also einer Teilmenge der komplexen Zahlen. Eigenschaften der Funktionen wie Beschränktheit, Stetigkeit oder Differenzierbarkeit übertragen sich jeweils auf die andere Sichtweise.

Beispielsweise entsprechen Fourier-Reihen   unter dieser Abbildung den Laurent-Reihen  .

Periodische Funktionen auf reellen VektorräumenBearbeiten

Es sei   ein  -dimensionaler reeller Vektorraum, z. B.  . Eine Periode einer stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktion   auf   oder einem (offenen, zusammenhängenden) Teil   von   ist ein Vektor  , so dass

  • der Definitionsbereich   von   invariant unter der Translation mit   ist, d. h.  
  • für alle   gilt:  .

Die Menge   aller Perioden von   ist eine abgeschlossene Untergruppe von  . Jede solche Untergruppe ist die direkte Summe aus einem Untervektorraum von   und einer diskreten Untergruppe; letztere lässt sich beschreiben als die Menge der ganzzahligen Linearkombinationen einer Menge linear unabhängiger Vektoren.

Wendet man diese Theorie auf den reell zweidimensionalen Vektorraum   an und betrachtet nur holomorphe Funktionen  , so gibt es die folgenden Fälle:

  •  :   ist nicht periodisch.
  •  :   ist eine gewöhnliche periodische Funktion; beispielsweise ist die Exponentialfunktion periodisch mit Periode  .
  •   enthält einen nichttrivialen reellen Unterraum: Eine holomorphe Funktion, die entlang einer Gerade konstant ist, ist insgesamt konstant.
  •  :   hat zwei reell linear unabhängige Perioden. Ist   auf der ganzen Ebene meromorph, so spricht man von einer elliptischen Funktion.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Periodische Funktion. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.