Algebraische Funktion

mathematische Funktionen

Algebraische Funktionen sind eine spezielle Klasse von Funktionen, die insbesondere in dem mathematischen Teilgebiet der Algebra untersucht wird. Sie sind die Lösung einer algebraischen Gleichung. Funktionen, die nicht algebraisch sind, werden transzendente Funktionen genannt.

Die Theorie der algebraischen Funktionen wurde in der Vergangenheit von den drei mathematischen Teilgebieten Funktionentheorie, arithmetische algebraische Geometrie und algebraische Geometrie aus entwickelt.

DefinitionBearbeiten

Eine Funktion   in   Variablen wird algebraische Funktion genannt, falls es ein irreduzibles Polynom   in   Variablen und Koeffizienten in einem Körper gibt, so dass   die algebraische Gleichung

 

löst.

Eine Funktion   von einer Variablen ist also algebraisch, falls sie die Gleichung

 

erfüllt, wobei   Polynome in der Variable   sind.[1]

EigenschaftenBearbeiten

  • Da in der Definition gefordert wurde, dass die Polynome irreduzibel sind, kann bewiesen werden, dass es zu jeder algebraischen Funktion   bis auf eine Konstante genau ein irreduzibles Polynom   gibt mit  . Der Grad des Polynoms   in der Variablen   wird dann der Grad der algebraischen Funktion genannt.
  • Für den Grad   können alle algebraischen Funktionen als rationale Funktionen und für die Grade  ,   und   können sie alle als Quadrat- oder Kubikwurzel einer rationalen Funktion dargestellt werden. Für Grade   ist dies im Allgemeinen nicht möglich.
  • Algebraische Funktionen einer Variablen über dem Körper der komplexen Zahlen   sind meromorph.

BeispieleBearbeiten

Transzendente FunktionenBearbeiten

Eine Funktion wird transzendent genannt, falls sie nicht algebraisch ist. Hierzu zählen zum Beispiel

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Josef Naas, Hermann Ludwig Schmid: Mathematisches Wörterbuch. Mit Einbeziehung der theoretischen Physik. Band 1: A – K. 3. Auflage, unveränderter Nachdruck. Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1979, ISBN 3-519-02400-4.