Einparameter-Untergruppe

Theorie topologischer Gruppen

In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Das Bild einer Einparameter-Untergruppe ist eine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

Einparameter-Untergruppen von Lie-GruppenBearbeiten

Sei   eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung   eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist. Für Homomorphismen zwischen Lie-Gruppen ist Glattheit äquivalent zu Stetigkeit. Jede Einparameter-Untergruppe entspricht genau einem Element in der Lie-Algebra von  . Je nach Zugang wird die Lie-Algebra manchmal sogar definiert als die Menge der Einparamter-Untergruppen.

BeispieleBearbeiten

  • Die stetigen Gruppenhomomorphismen   von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen   für ein festes  .
  • Die stetigen Gruppenhomomorphismen   von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen   für ein festes  .

LiteraturBearbeiten