Transzendenzbasis

algebraischer Begriff aus der Theorie der Körpererweiterungen
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Transzendenzbasis ist ein algebraischer Begriff aus der Theorie der Körpererweiterungen, der in Analogie zum Begriff der Vektorraumbasis der linearen Algebra gesehen werden kann. Die Mächtigkeit einer solchen Transzendenzbasis, der sogenannte Transzendenzgrad, stellt ein Maß für die Größe einer transzendenten Körpererweiterung dar.

BegriffsbildungBearbeiten

Es sei   eine Körpererweiterung, das heißt   ist ein Teilkörper des Körpers  . Eine  -elementige Menge   heißt algebraisch unabhängig über  , wenn es außer dem Nullpolynom kein Polynom   mit   gibt. Eine beliebige Teilmenge   heißt algebraisch unabhängig über  , wenn jede endliche Teilmenge von   es ist.

Eine maximale algebraisch unabhängige Menge in  , die man also durch kein weiteres Element zu einer über   algebraisch unabhängigen Menge erweitern kann, heißt eine Transzendenzbasis der Körpererweiterung  .

Man beachte die Analogie zur linearen Algebra, in der eine Vektorraumbasis als eine maximale linear unabhängige Menge charakterisiert werden kann.

Existenz und Eigenschaften von TranszendenzbasenBearbeiten

Wie in der linearen Algebra die Existenz einer Hamelbasis bewiesen wird, so erhält man die Existenz einer Transzendenzbasis, indem man zeigt, dass jede Vereinigung aufsteigender Mengen algebraisch unabhängiger Mengen wieder algebraisch unabhängig ist und dann das Lemma von Zorn anwendet.

Es gibt noch weitere Möglichkeiten, Transzendenzbasen zu charakterisieren. So sind etwa für eine Körpererweiterung   und eine algebraisch unabhängige Menge   folgende Aussagen äquivalent:[1]

  •   ist eine Transzendenzbasis von  .
  •   ist algebraisch, wobei   der kleinste Körper in   ist, der   und   enthält (siehe Körperadjunktion).

TranszendenzgradBearbeiten

In Analogie zum Austauschlemma von Steinitz der linearen Algebra zeigt man, dass je zwei Transzendenzbasen einer Körpererweiterung gleichmächtig sind. Daher ist die Mächtigkeit einer Transzendenzbasis eine Invariante der Körpererweiterung  , die man ihren Transzendenzgrad nennt und mit   bezeichnet.[2] In Anlehnung an die englischsprachige Bezeichnung transcendence degree findet man auch die Schreibweise  . Aus   folgt, dass   unendlich ist, denn die ganzzahligen Potenzen eines transzendenten Elements   sind linear unabhängig über  , womit bereits eine Körpererweiterung um ein transzendentes Element,  , unendlichen Grad besitzt; der Transzendenzgrad stimmt also nicht mit dem Grad einer Körpererweiterung überein.

Ferner hat man[3]

  • Für Körper   gilt  .

Rein transzendente KörpererweiterungenBearbeiten

Eine Körpererweiterung   heißt rein transzendent, wenn es eine Transzendenzbasis   gibt mit  . Daraus folgt, dass jedes Element aus   transzendent über   ist. Jede Körpererweiterung lässt sich in eine algebraische und eine rein transzendente Körpererweiterung aufspalten, wie der folgende Satz zeigt[4]:

Ist   eine Körpererweiterung, so gibt es einen Zwischenkörper  , so dass folgendes gilt

  •   ist rein transzendent.
  •   ist algebraisch.

Zum Beweis nehme man   für eine Transzendenzbasis   über  .

BeispieleBearbeiten

  • Eine Körpererweiterung   ist genau dann algebraisch, wenn die leere Menge eine Transzendenzbasis ist. Dies ist wiederum äquivalent dazu, dass   gilt.
  • Ist   der Körper der rationalen Funktionen über  , so hat die Körpererweiterung   die Transzendenzbasis   und es gilt somit  
  • Ist   der Körper der rationalen Funktionen in   Unbestimmten über  , so gilt  . Dies ergibt sich mit der obigen Formel zur Berechnung des Transzendenzgrades mit Hilfe von Zwischenkörpern aus dem letzten Beispiel.
  • Aus Mächtigkeitsgründen gilt   (lies "beth eins", siehe Beth-Funktion).
  • Die Körpererweiterungen   und   sind rein transzendent, wobei für letzteres die nicht-triviale Tatsache der Transzendenz der Eulerschen Zahl   über   verwendet wird.
  • Die Körpererweiterung   ist nicht-algebraisch, aber auch nicht rein transzendent, da   algebraisch über   ist.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gerd Fischer, Reinhard Sacher: Einführung in die Algebra. 2., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart 1978, ISBN 3-519-12053-4, Anhang 4.
  2. Kurt Meyberg: Algebra. Band 2. Carl Hanser, München u. a. 1976, ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.10.10.
  3. Kurt Meyberg: Algebra. Band 2. Carl Hanser, München u. a. 1976, ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.10.11.
  4. Gerd Fischer, Reinhard Sacher: Einführung in die Algebra. 2., überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart 1978, ISBN 3-519-12053-4, Anhang 4, Satz 2.