Einsetzungshomomorphismus

Im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie bezeichnet der Einsetzungshomomorphismus (auch Substitutions- oder Auswertungshomomorphismus) die eindeutige Fortsetzung eines Ringhomomorphismus zwischen zwei kommutativen Ringen mit Eins zu einem Homomorphismus des zum Definitionsbereich gehörigen Polynomrings in einer oder mehreren Veränderlichen.

Definition Bearbeiten

Es sei   ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Des Weiteren bezeichne   den zu   gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.

Zu jedem   lässt sich nun eine Abbildung   definieren, welche ein Polynom

 

abbildet auf

 .

Man bezeichnet den so definierten Homomorphismus als Einsetzungshomomorphismus.

Eigenschaften Bearbeiten

Im Einzelnen gilt   für alle  , es setzt also   den Homomorphismus   auf den Polynomring   fort, wenn man konstante Polynome mit ihrem aus   stammenden Koeffizienten identifiziert. Des Weiteren gilt  , was den Namen Einsetzungshomomorphismus motiviert: Man setzt das konkrete Ringelement   für die durch   symbolisierte Veränderliche ein.

Dass der so definierte Homomorphismus unter den gegebenen Voraussetzungen immer existiert und zudem eindeutig bestimmt ist, besagt gerade der Satz über den Einsetzungshomomorphismus.

Verallgemeinerung auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen Bearbeiten

Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen Bearbeiten

Ist   ein kommutativer Ring mit Eins so lassen sich induktiv Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen definieren: Ausgehend vom Polynomring   entsteht so anfangs  , indem man nun Polynome mit Koeffizienten aus   zulässt. Die weiteren Schritte erfolgen analog.

Ist nun   ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und   der zu   gehörigen Polynomring in   Veränderlichen, so lässt sich zu jedem  -Tupel   in   eine Abbildung   definieren, die ein Polynom

 

abbildet auf

 .

Polynomringe in unendlich vielen Veränderlichen Bearbeiten

Für einen kommutativen Ring mit Eins   lassen sich Polynome in unendlich vielen Veränderlichen auffassen als Abbildungen

 ,

wobei   eine beliebige Indexmenge sei und   die Menge aller Abbildungen von   nach   mit endlicher Trägermenge. Man bezeichnet den Ring der Polynome über   in unendlich vielen Veränderlichen mit  .[1]

Für einen Homomorphismus   zwischen kommutativen Ringen mit Eins lässt sich zu jeder Familie   in   eine Abbildung   definieren, welche ein Polynom   abbildet auf

 ,

wobei   und  .

Dieser Fall beinhaltet die Fälle für Polynome in einer bzw. endlich vielen Veränderlichen. Man betrachtet hierzu eine einelementige bzw. eine endliche Indexmenge  .

Punktauswertung als Spezialfall Bearbeiten

Existiert ein injektiver Ringhomomorphismus  , ist also   eine Ringerweiterung von  , so nennt man für ein   in diesem Spezialfall den zu   gehörigen Einsetzungshomomorphismus auch Punktauswertung  . Man schreibt in diesem Fall häufig   für den Wert von   an der Stelle  .[2]

Man bezeichnet das Bild   oft mit  . Das Bild ist der kleinste Unterring von  , welcher sowohl das Bild   als auch   enthält. Er besteht aus allen polynomialen Ausdrücken der Form  .

Existiert für ein   ein  , sodass   gilt, so bezeichnet man   als Nullstelle von  . Von besonderer Bedeutung für die Theorie algebraischer Gleichungen ist der Kern der Abbildung   für ein Element   aus  , welches nicht notwendigerweise in   liegt. Ist   injektiv, gilt also   genau dann, wenn   das Nullpolynom ist, so bezeichnet man   auch als transzendent über   und es ist   isomorph zu  . Andernfalls nennt man   algebraisch über  , was gleichbedeutend damit ist, dass   als Nullstelle eines Polynoms ungleich dem Nullpolynom mit Koeffizienten aus   auftritt.

Wie im Falle des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes existieren auch für die Punktauswertung und alle damit zusammenhängenden Begriffe direkte Verallgemeinerungen auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen.

Beispiele Bearbeiten

Ist   ein Ideal in einem Ring   (kommutativ und mit Einselement), so induziert der Homomorphismus  , welcher sich aus der Projektion auf den Faktorring   und der Einbettung in den zugehörigen Polynomring   zusammensetzt, einen Ringhomomorphismus  . Die Koeffizienten eines Polynoms   werden also modulo   reduziert. Hierbei wird das Monom   durch das entsprechende Monom   aus   substituiert.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-40533-4, S. 113 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Günter Scheja: Lehrbuch der Algebra. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 24 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).