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Übersicht über einige gängige Mengen hyperkomplexer Zahlen mit ihrer jeweiligen Dimension und ihren Teilmengenrelationen.

Hyperkomplexe Zahlen sind Verallgemeinerungen der komplexen Zahlen. In diesem Artikel werden hyperkomplexe Zahlen als algebraische Struktur betrachtet. Manchmal werden auch die Quaternionen als die hyperkomplexen Zahlen bezeichnet.

DefinitionBearbeiten

Eine hyperkomplexe Zahl ist ein Element einer Algebra hyperkomplexer Zahlen. Eine Algebra   über den reellen Zahlen heißt Algebra hyperkomplexer Zahlen oder hyperkomplexes System des Rangs  , wenn

  • sie als Vektorraum endliche Dimension   hat und wenn
  • sie ein Einselement besitzt, das heißt, falls ein   existiert, so dass für alle   die Gleichung   gilt.

Manche Autoren fordern zusätzlich, dass die Algebra   bezüglich der Multiplikation assoziativ ist. Insbesondere sind die reellen Zahlen selbst eine Algebra hyperkomplexer Zahlen.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Multiplikation in einer hyperkomplexen Algebra   ist bilinear über den reellen Zahlen, d. h., es gilt  

Folgende Eigenschaften werden nicht gefordert:

  • Für die Multiplikation von hyperkomplexen Zahlen muss das Kommutativgesetz nicht gelten.
  • Elemente müssen bezüglich der Multiplikation nicht notwendig invertierbar sein.
  • Die Multiplikation braucht nicht nullteilerfrei zu sein.

KonjugationBearbeiten

Hyperkomplexe Zahlen lassen sich wie folgt als Summe darstellen:

 .

Die Größen   für   heißen imaginäre Einheiten. Die zu   konjugierte Zahl entsteht, indem alle imaginären Einheiten durch ihr Negatives ersetzt werden ( ). Die zu   konjugiert komplexe Zahl wird durch   oder   dargestellt. Ihre Summendarstellung ist

 .

Die Konjugation ist eine Involution auf den hyperkomplexen Zahlen, das heißt, dass

 .

BeispieleBearbeiten

Komplexe ZahlenBearbeiten

Die Komplexen Zahlen   sind ein hyperkomplexes Zahlensystem, das durch

  mit  

definiert ist.

Anormal-komplexe ZahlenBearbeiten

Die anormal-komplexen Zahlen sind definiert durch

  mit  .

Duale ZahlenBearbeiten

Die Dualen Zahlen sind definiert durch

  mit  .

Man beachte, dass sie nichts mit Dualzahlen zu tun haben.

QuaternionenBearbeiten

Die Quaternionen (Symbol oft   nach ihrem Entdecker W. R. Hamilton) bilden eine vierdimensionale  -Algebra mit Division und assoziativer (aber nicht kommutativer) Multiplikation. Es handelt sich bei den Quaternionen also um einen Schiefkörper.

BiquaternionenBearbeiten

Die Biquaternionen sind als Quaternionen mit komplexen Koeffizienten definiert, d. h., sie bilden einen vierdimensionalen Vektorraum über   ebenso wie die Quaternionen einen vierdimensionalen Vektorraum über   bilden.

OktonionenBearbeiten

Die Oktonionen (Symbol  , auch Oktaven genannt) sind achtdimensionale hyperkomplexe Zahlen mit Division und alternativer Multiplikation.

SedenionenBearbeiten

Die Sedenionen (Symbol  ) sind sechzehndimensionale hyperkomplexe Zahlen. Ihre Multiplikation ist weder kommutativ, assoziativ noch alternativ. Auch besitzen sie keine Division; stattdessen haben sie Nullteiler.

Quadratische MatrizenBearbeiten

Sei   eine natürliche Zahl. Der   ist dann eine Algebra mit der  -Einheitsmatrix als Einselement – also auch eine hyperkomplexe Algebra. Genauer ist sie eine assoziative hyperkomplexe Algebra und damit auch ein Ring und als solcher auch unitär. Die reellzahligen Vielfachen der Einheitsmatrix bilden eine zu   isomorphe Unteralgebra.

Im Fall   gibt es Unteralgebren, die zu den oben genannten drei zweidimensionalen Algebren isomorph sind; sie zeichnen sich dadurch aus, dass die Hauptdiagonalelemente stets übereinstimmen (was dem Realteil entspricht) und für die Elemente der Nebendiagonalen Regeln gelten, die die dargestellte Algebra festlegen:

  • Ein Nebendiagonalelement ist 0 → Die Algebra ist isomorph zu den Dualen Zahlen
  • Beide Nebendiagonalelemente stimmen überein → Die Algebra ist isomorph zu den Binären Zahlen
  • Jedes Nebendiagonalelement ist das Negative des anderen → Die Algebra ist isomorph zu den komplexen Zahlen

Bemerkung: Jede Matrix des dritten Typs, durch die Determinante dividiert, ist eine Drehmatrix des zweidimensionalen Raums; jede Matrix des zweiten Typs durch ihre Determinante (falls diese von 0 verschieden ist) entspricht einer Lorentz-Transformation in einem 1+1-dimensionalen Minkowskiraum.

BemerkungenBearbeiten

  • Mit dem Verdopplungsverfahren (auch als Cayley-Dickson-Verfahren bekannt) lassen sich neue hyperkomplexe Zahlensysteme erzeugen, deren Dimension doppelt so groß ist wie die des Ausgangszahlensystems.
  • Jede Clifford-Algebra ist ein assoziatives hyperkomplexes Zahlensystem.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten