Ein Ultrafilter ist in der Mathematik ein Mengenfilter auf einer Menge , so dass für jede Teilmenge von entweder selbst oder ihr Komplement Element des Mengenfilters ist. Ultrafilter sind somit genau diejenigen Mengenfilter, zu denen keine echte Verfeinerung existiert. Diese Definition von Ultrafiltern lässt sich von Mengenfiltern auf allgemeine Filter im Sinne der Verbandstheorie übertragen.

Ultrafilter mit der Eigenschaft, dass die Schnittmenge aller ihrer Elemente nichtleer ist, heißen fixierte Ultrafilter, Punktfilter oder Elementarfilter: Sie bestehen aus allen Teilmengen, die einen bestimmten Punkt enthalten. Alle Ultrafilter auf endlichen Mengen sind fixierte Ultrafilter. Fixierte Filter sind die einzigen explizit konstruierbaren Ultrafilter. Die zweite Art der Ultrafilter sind die freien Ultrafilter, für die die Schnittmenge aller ihrer Elemente die leere Menge ist.

Ultrafilter finden Anwendungen etwa in der Topologie und der Modelltheorie.

Der zum Begriff des Ultrafilters duale Begriff ist der des Primideals.[1]

Formale Definition und grundlegende EigenschaftenBearbeiten

Es sei   eine Menge. Ein Filter   ist eine Familie von Teilmengen auf   mit folgenden Eigenschaften:

  1.  
  2.  
  3.  

Ein Ultrafilter ist ein Filter   mit der Eigenschaft:

  1. Ist   Filter auf   mit  , dann gilt  .

Dieser Punkt kann auch so ausgedrückt werden, dass   in der Menge aller Filter auf   maximal ist, wobei als Ordnung die Inklusion auf  , also auf der Potenzmenge der Potenzmenge von  , verwendet wird. (Beachte: Ein Filter ist eine Teilmenge von   und daher ein Element von  .)

Es gilt folgender Satz: Ist   ein Filter auf der Menge  , dann existiert ein Ultrafilter  , der den Filter   umfasst. Da   ein Filter auf der Menge   ist, existiert auf jeder nichtleeren Menge ein Ultrafilter.

Ultrafilter lassen sich durch folgenden Satz charakterisieren:

Es sei   ein Filter auf  . Dann sind folgende Aussagen äquivalent (L1):

  1. Für alle Filter   auf   mit   folgt  .
  2. Für alle Teilmengen   gilt:   oder  .
  3.   gilt, dass entweder   oder  .

Des Weiteren gilt: Sind   Ultrafilter auf einer Menge  , dann sind diese gleichmächtig. Dies sieht man durch folgende Abbildungen ein:

  sowie  

Zuerst sieht man, dass die Abbildungen, wegen (L1) wohldefiniert sind. Man sieht sofort   und  . Somit handelt es sich um Bijektionen.

VollständigkeitBearbeiten

Unter der Vollständigkeit eines Ultrafilters versteht man die kleinste Kardinalzahl  , sodass   Elemente des Filters existieren, deren Durchschnitt kein Element des Filters ist. Dies widerspricht nicht der Definition eines Ultrafilters, da nach dieser nur der Durchschnitt endlich vieler Elemente wieder im Filter enthalten sein muss. Aus dieser Voraussetzung folgt aber, dass die Vollständigkeit eines Ultrafilters mindestens   ist. Ein Ultrafilter, dessen Vollständigkeit größer als   ist, also überabzählbar, heißt abzählbar vollständig bzw.  -vollständig, da jede Schnittmenge abzählbar (auch abzählbar unendlich) vieler Elemente des Filters wieder ein Element des Filters ist.

Verallgemeinerung von Ultrafiltern auf HalbordnungenBearbeiten

Im Kontext der allgemeineren Definition von Filter als Teilmenge einer halbgeordneten Menge (zum Beispiel Potenzmenge mit Inklusion)   heißt ein Filter   Ultrafilter, wenn es keinen feineren Filter als   gibt, der nicht schon ganz   ist – formal ausgedrückt: Wenn   ein Filter auf   ist mit  , dann gilt   oder  . Diese allgemeinere Definition stimmt in dem Spezialfall, dass   die Potenzmenge einer Menge   ist, mit der zuerst gegebenen überein. Mit Hilfe des Zornschen Lemmas lässt sich zeigen, dass jeder Filter in einem Ultrafilter enthalten ist.

Ultrafilter auf VerbändenBearbeiten

Als Spezialfall der Definition auf Halbordnungen ergibt sich eine Definition auf Verbänden. Ein Ultrafilter auf einem Verband lässt sich alternativ als Verbandshomomorphismus in die zweielementige boolesche Algebra   definieren. Ein abzählbar vollständiger Ultrafilter lässt sich als 0,1-wertiges Maß auffassen.

Arten und Existenz von UltrafilternBearbeiten

Es gibt zwei Arten von Filtern. Zur Unterscheidung wird folgende Definition benutzt:

Ein Filter   heißt frei, wenn   ist, andernfalls heißt er fixiert.

Leicht sieht man, dass Ultrafilter auf einer endlichen Menge fixiert sind; auf endlichen, halbgeordneten Mengen besitzen Ultrafilter ein kleinstes Element, sie lassen sich als   für ein Element   darstellen. Allgemeiner gilt auf beliebigen Mengen: Ein Ultrafilter   auf   ist ein fixierter Ultrafilter genau dann, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Es gibt ein   mit  .
  • Der Filter besitzt ein endliches Element.

In diesem Fall heißt   Hauptelement des Ultrafilters.

Freie Ultrafilter können nur auf unendlichen Mengen existieren. Es lässt sich zeigen (Tarski'scher Ultrafiltersatz, englisch Tarski's Ultrafilter Theorem), dass jeder Filter einer Menge   (allgemeiner: jede Teilmenge  , für die die Schnittmenge endlich vieler Teilmengen von   wieder in   liegt) in einem Ultrafilter von   enthalten ist. Der Beweis des Ultrafiltersatzes ist nicht konstruktiv und ergibt sich unter Anwendung des Lemmas von Zorn, setzt also die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.[2][3]

Ein Beispiel für fixierte Filter sind Umgebungsfilter.

BeispieleBearbeiten

  • Auf der leeren Menge   gibt es nur den leeren Filter, welcher die leere Menge ist. Dieser ist damit ein Ultrafilter.
  • Ist   eine endliche Menge, dann ist jeder Ultrafilter auf   genau durch einen Punkt fixiert. Wäre das nicht so und wäre der Filter durch die Menge   fixiert, so könnte man ihn durch Hinzufügen von   echt verfeinern. Somit sind die Ultrafilter auf einer endlichen Menge gerade die Punktfilter.
  • Der Umgebungsfilter eines Punktes in der Topologie ist genau dann ein Ultrafilter, wenn der Punkt isoliert ist.

AnwendungenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
  • Paul Moritz Cohn: Universal Algebra (= Mathematics and Its Applications. Band 6). Überarbeitete Auflage. D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Boston 1981, ISBN 90-277-1213-1.
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (Berliner Studienreihe zur Mathematik 15), S. 203ff. Kapitel 13.
  • Thomas Jech: Set Theory. The Third Millennium edition, revised and expanded (= Springer Monographs in Mathematics). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2003, ISBN 3-540-44085-2.
  • Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Thomas Jech: Set Theory 2003, S. 74 ff.
  2. Jech, op. cit., S. 75.
  3. Auf diesem Wege ist die Existenz freier Ultrafilter gesichert. So bilden etwa die kofiniten Teilmengen einer unendlichen Menge einen Filter, die freien Ultrafilter sind gerade die Ultrafilter, die Oberfilter dieses Filters sind.