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In der Mathematik sind hyperreelle Zahlen ein zentraler Untersuchungsgegenstand der Nichtstandardanalysis. Die Menge der hyperreellen Zahlen wird meist als geschrieben; sie erweitert die reellen Zahlen um infinitesimal benachbarte Zahlen sowie um unendlich große (infinite) Zahlen.

Als Newton und Leibniz ihre Differentialrechnung mit „Fluxionen“ bzw. „Monaden“ durchführten, benutzten sie infinitesimale Zahlen, und noch Euler und Cauchy fanden sie nützlich. Trotzdem wurden diese Zahlen von Anfang an skeptisch betrachtet, und im 19. Jahrhundert wurde die Analysis durch die Einführung der epsilon-delta-Definition des Grenzwertes und die Definition der reellen Zahlen durch Cauchy, Weierstraß und andere auf eine strenge Grundlage gestellt, die ohne infinitesimale Größen auskommt.

Abraham Robinson zeigte dann in den 1960er Jahren, auf welche Weise unendlich große und kleine Zahlen streng formal definiert werden können, und eröffnete so das Gebiet der Nichtstandardanalysis. Die hier gegebene Konstruktion ist eine vereinfachte, aber nicht minder strenge Version, die zuerst von Lindstrom gegeben wurde.

Durch die hyperreellen Zahlen ist eine Formulierung der Differential- und Integralrechnung ohne den Grenzwertbegriff möglich.

Elementare EigenschaftenBearbeiten

Die hyperreellen Zahlen   bilden einen geordneten Körper, der   als Teilkörper enthält. Beide sind reell abgeschlossen.

 
Infinitesimale (ε) und Infinite (ω) auf der hyperreellen Zahlengerade

Der Körper   wird so konstruiert, dass er elementar äquivalent zu   ist. Das bedeutet, dass jede Aussage, die in   gilt, auch in   gilt, falls die Aussage sich in der Prädikatenlogik erster Stufe über der Signatur   formulieren lässt.

Die Signatur bestimmt, welche Symbole man in den Aussagen gebrauchen darf. Die Einschränkung auf die Prädikatenlogik erster Stufe bedeutet, dass man nur über Elemente des Körpers quantifizieren kann, nicht jedoch über Teilmengen. Folgende Aussagen gelten z. B. sowohl in   als auch in  :

  •  
  •  
  • Jede Zahl, die größer oder gleich Null ist, hat eine Quadratwurzel.

Das heißt nun nicht, dass   und   sich genau gleich verhalten; sie sind nicht isomorph. Zum Beispiel gibt es in   ein Element  , das größer als alle natürlichen Zahlen ist. Dies lässt sich jedoch nicht durch eine Aussage der obigen Form ausdrücken, man braucht dazu unendlich viele:

 

Eine solche Zahl gibt es in   nicht. Eine hyperreelle Zahl wie   nennt man infinit oder unendlich, der Kehrwert einer unendlich großen Zahl ist eine infinitesimale Zahl.

Ein weiterer Unterschied: Die reellen Zahlen sind ordnungsvollständig, d. h. jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von   besitzt ein Supremum in  . Diese Forderung charakterisiert die reellen Zahlen als geordneten Körper eindeutig, d. h. bis auf eindeutige Isomorphie.   ist hingegen nicht ordnungsvollständig: Die Menge aller endlichen Zahlen in   besitzt kein Supremum, ist aber z. B. durch obiges   beschränkt. Das liegt daran, dass man zur Formulierung der Ordnungsvollständigkeit über alle Teilmengen quantifizieren muss; sie kann daher nicht in der Prädikatenlogik erster Stufe formalisiert werden.

Die hyperreellen Zahlen sind gleichmächtig zu den reellen Zahlen:

 

KonstruktionBearbeiten

Die Menge aller Folgen reeller Zahlen ( ) bilden eine Erweiterung der reellen Zahlen, wenn man die reellen Zahlen mit den konstanten Folgen identifiziert.

  wird also mit der Folge  ,
  wird also mit der Folge   identifiziert.

Die Prototypen für „unendliche große“ Zahlen sind in dieser Menge Folgen, die irgendwann größer als jede reelle Zahl werden, z. B. die Folge:

 

Auf   kann man nun die Addition und Multiplikation gliedweise definieren:

 

Dadurch wird   zu einem kommutativen unitären Ring, allerdings besitzt dieser Nullteiler und ist daher kein Körper. Es gilt z. B. für

 
 

die Gleichung

 ,

obwohl sowohl   als auch   ungleich null sind. Es müssen daher noch Folgen über eine Äquivalenzrelation identifiziert werden. Die Idee ist, dass Folgen äquivalent sind, wenn die Menge aller Stellen, wo sich die Folgen unterscheiden, eine unwesentliche ist. Was ist nun die Menge aller unwesentlichen Mengen? Insbesondere sollen ja Folgen äquivalent sein, wenn sie sich im Unendlichen gleich verhalten, wenn sie also nur an endlich vielen Stellen verschieden sind. Alle endlichen Mengen sind daher unwesentlich. Und das Beispiel mit   und   zeigt, dass für jede Teilmenge entweder die Teilmenge oder ihr Komplement unwesentlich ist. Unter anderem wird dann noch gebraucht, dass die Vereinigung zweier unwesentlicher Mengen unwesentlich ist, da die Äquivalenzrelation transitiv sein muss. Das führt zu einem Ultrafilter:

Ein Filter   auf den natürlichen Zahlen ist eine Menge von Teilmengen der natürlichen Zahlen, für die gilt:

  • Die leere Menge liegt nicht in  .
  • Wenn sie zwei Mengen enthält, dann auch deren Schnittmenge.
  • Wenn sie eine Menge enthält, dann auch deren Obermengen.

Ein Filter   ist frei, wenn gilt:

  •   enthält keine endlichen Mengen

Er ist ein Ultrafilter, falls gilt:

  • Wenn   eine bestimmte Teilmenge nicht enthält, enthält   deren Komplement.

Die Existenz eines freien Ultrafilters folgt aus dem Lemma von Zorn. Mit Hilfe dieses Ultrafilters   lässt sich eine Äquivalenzrelation definieren:

 , falls  .

Auf der Menge der Äquivalenzklassen, die mit   bezeichnet wird, kann nun die Addition und Multiplikation der Äquivalenzklassen über Repräsentanten definiert werden. Dies ist wohldefiniert, da   ein Filter ist. Da   sogar ein Ultrafilter ist, hat jedes Element außer 0 in   ein Inverses. Z. B. ist eine der beiden Folgen   und   äquivalent zu null, die andere zu eins.

Die Äquivalenzklasse der Folge   ist größer als jede reelle Zahl, denn für eine reelle Zahl   gilt

 

Anschließend ist noch zu zeigen, dass der konstruierte Körper tatsächlich elementar äquivalent zu   ist. Dies geschieht durch einen Induktionsbeweis über den Aufbau der Formeln, wobei von den Ultrafilter-Eigenschaften Gebrauch gemacht wird.

BemerkungenBearbeiten

  • Jedem Filter auf den natürlichen Zahlen entspricht ein Ideal des Ringes  . Einem Ultrafilter entspricht dabei ein maximales Ideal, genau deshalb ist der Quotient auch ein Körper. Die Wahl eines nicht-freien Ultrafilters hätte zur Folge, dass der Körper der Äquivalenzklassen isomorph zum Ausgangskörper ist.
  • Diese Konstruktion ist ein Spezialfall der Ultrapotenz. Unter anderem heißt das, dass die Einbettung von   in   eine elementare Einbettung ist und dass  -saturiert ist.
  • Aus den Axiomen der Mengenlehre (ZFC) plus der Kontinuumshypothese folgt, dass diese Konstruktion nicht von der Wahl des Ultrafilters abhängt. (Das bedeutet, dass unterschiedliche Ultrafilter zu isomorphen Ultraprodukten führen.)

Infinitesimale und unendlich große ZahlenBearbeiten

Eine hyperreelle Zahl heißt infinitesimal, wenn sie kleiner als jede positive reelle Zahl und größer als jede negative reelle Zahl ist. Die Zahl Null ist die einzige infinitesimale reelle Zahl, aber es gibt andere hyperreelle infinitesimale Zahlen, beispielsweise  . Sie ist größer als null, aber kleiner als jede positive reelle Zahl, denn der Ultrafilter enthält alle Komplemente endlicher Mengen.

Eine hyperreelle Zahl   heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl   gibt mit  , anderenfalls heißt   unendlich. Die Zahl   ist eine infinite Zahl. Beachte: Die Bezeichnung „unendlich groß“ bezeichnet meist eine Zahl, die größer ist als jede natürliche Zahl, „unendlich“ schließt aber auch Zahlen ein, die kleiner sind als jede ganze Zahl, wie  .

Eine von 0 verschiedene Zahl   ist genau dann unendlich, wenn   infinitesimal ist. Zum Beispiel ist  .

Es lässt sich zeigen, dass jede endliche hyperreelle Zahl „sehr nah“ an genau einer reellen Zahl liegt. Genauer: Ist   eine endliche hyperreelle Zahl, dann gibt es genau eine reelle Zahl  , so dass   infinitesimal ist. Die Zahl   nennt man den Standardteil von  , die Differenz zu   ist der Nichtstandardteil. Die Abbildung st hat einige angenehme Eigenschaften: Für alle endlichen hyperreellen Zahlen  ,   gilt:

  •  
  •  
  •   genau dann, wenn   reell ist

Wobei das insbesondere bedeutet, dass der Term auf der linken Seite definiert ist, dass also z. B.   endlich ist, falls sowohl   als auch   endlich sind. Die Menge der endlichen Zahlen bilden also einen Unterring in den hyperreellen Zahlen. Außerdem ist

  •  , falls   nicht infinitesimal ist,

Ferner gilt:

  • Die Abbildung st ist stetig bzgl. der Ordnungstopologie auf der Menge der endlichen hyperreellen Zahlen, sie ist sogar lokal konstant.

Die ersten zwei Eigenschaften (und die Folgerung   aus der dritten Eigenschaft) besagen, dass st ein Ring-Homomorphismus ist.

Zum Beispiel ist die hyperreelle Zahl   gliedweise kleiner als  , also ist  . Sie ist aber größer als jede reelle Zahl kleiner 1. Sie ist daher zur 1 infinitesimal benachbart und 1 ist ihr Standardteil. Ihr Nichtstandardteil (die Differenz zu 1) ist

 .

Beachte aber, dass die reelle Zahl   als Grenzwert der Folge   gleich 1 ist.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

Die hyperreellen Zahlen sind gleichmächtig zu den reellen Zahlen, denn die Mächtigkeit muss mindestens so groß wie die der reellen Zahlen sein, da sie die reellen Zahlen enthalten, und kann höchstens so groß sein, da die Menge   gleichmächtig zu den reellen Zahlen ist. Die Ordnungsstruktur der hyperreellen Zahlen hat überabzählbare Konfinalität, d. h. es existiert keine unbeschränkte abzählbare Menge, also keine unbeschränkte Folge von hyperreellen Zahlen: Sei eine Folge von hyperreellen Zahlen durch Repräsentanten   gegeben. Dann ist die hyperreelle Zahl mit dem Repräsentanten  ,

 

eine obere Schranke. Es lassen sich also mit keiner Folge beliebig große hyperreelle Zahlen erreichen. Die Ordnung der hyperreellen Zahlen induziert eine Ordnungstopologie. Mittels dieser lassen sich die üblichen topologischen Begriffe von Grenzwerten und Stetigkeit auf die hyperreellen Zahlen übertragen. Als geordneter Körper weisen sie mit der Addition eine mit der Topologie verträgliche Gruppenstruktur auf, es handelt sich also um eine topologische Gruppe. Diese induziert eine uniforme Struktur, sodass man auf den hyperreellen Zahlen auch von gleichmäßiger Stetigkeit, Cauchyfiltern etc. sprechen kann. Aus der überabzählbaren Konfinalität folgt durch Betrachtung von Kehrwerten, dass es auch keine Folge bestehend aus von 0 (oder entsprechend einer beliebigen anderen hyperreellen Zahl) verschiedenen hyperreellen Zahlen gibt, die beliebig nah an die 0 gelangt. Daher erfüllt die Topologie der hyperreellen Zahlen nicht die beiden Abzählbarkeitsaxiome, sie ist also insbesondere nicht metrisierbar. Aus der überabzählbaren Konfinalität folgt auch, dass sie nicht separabel sind. Aus dem Nichtvorhandensein von Suprema zahlreicher Mengen folgt, dass der Raum total unzusammenhängend und nicht lokalkompakt ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Heinz-Dieter Ebbinghaus et al.: Zahlen. 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1992, ISBN 3-540-55654-0.

WeblinksBearbeiten