Differenzengleichung

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Eine Differenzengleichung ist eine rekursive Berechnungsvorschrift für eine diskrete Folge von Werten im Abstand eines Intervalls . Jedes berechnete Folgeglied bezieht sich auf ein zurückliegendes Folgeglied oder mehrere zurückliegende Folgeglieder, je nach Ordnung der Differenzengleichung.

Differenzengleichungen werden zur numerischen Berechnung in vielen wissenschaftlichen Disziplinen – wie Wirtschaft, Medizin, Technik, Elektrotechnik, Kybernetik, Informatik, Akustik und andere – eingesetzt, deren Problemstellungen durch gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen beschrieben werden können.

Definition

In der Mathematik wird eine Gleichung der Form

 

als Differenzengleichung oder Rekursionsgleichung der Ordnung   bezeichnet.[1] Eine Spezialform sind die linearen Differenzengleichungen.

Eine implizite Differenzengleichung liegt vor, wenn nicht nach dem Glied mit der höchsten Ordnung aufgelöst werden kann:

 

Einfachstes Verfahren zur Erstellung der Differenzengleichungen ist das explizite Euler-Streckenzugverfahren. Andere Methoden der numerischen Berechnung bedienen sich zur besseren Approximation z. B. an Stelle des Euler-Streckenzugverfahrens des Trapezflächenverfahrens (Heun-Verfahren), des Mehrschrittverfahrens (Adams-Bashforth-Verfahren) und anderer Verfahren.[2]

Anwendungen

Differentialgleichungen werden in vielen Fachgebieten zur Beschreibung dynamischer Systeme eingesetzt. Deren numerische Lösung erfolgt über Differenzengleichungen. Beispiele sind:

Differenzengleichungen nach dem Euler-Streckenzugverfahren

Allgemein berechnet eine Differenzengleichung der Ordnung   schrittweise eine Wertefolge   mit den Folgegliedern   im Intervall  . Die ersten   Folgeglieder sind die Anfangswerte.

Da sich gewöhnliche Differentialgleichungen höherer Ordnung in einzelne Differentialgleichungen 1. Ordnung überführen lassen, kann für die weiteren Betrachtungen die Ordnung 1 vorausgesetzt werden. Beim einfachsten Integrationsverfahren werden daraus Differenzengleichungen erster Ordnung gebildet. Mit dem Anfangswert  , lässt sich über die Differenzengleichung die nächste Stützstelle   an der Stelle   berechnen. Das gilt auch für alle weiteren Stützstellen.

Lineare Systeme höherer Ordnung, die in Differentialgleichungen 1. Ordnung zerlegt werden und deren Systemverhalten mittels Differenzengleichungen 1. Ordnung berechnet werden, konvergieren nach dem Euler-Verfahren zur exakten Lösung, wenn das Intervall   beziehungsweise im Zeitbereich das Intervall   gegen Null geht.

Explizites Euler-Streckenzugverfahren (Euler-Vorwärts)

Das einfachste Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung ist das explizite Euler-Verfahren.[3][4]

Für jeden Rechenschritt (Stützpunkt, Knoten) wird die Ableitung   durch einen Vorwärts-Differenzenquotienten approximiert. Der Begriff Vorwärts-Differenzenquotient bezieht sich auf die linke Intervallgrenze.[5]

Der Vorwärts-Differenzenquotient für eine Differentialgleichung   und der Schrittweite   lautet:

 

Beim Euler-Vorwärts-Verfahren wird das Integral für einen Streckenzug approximiert:[6]

 

Die Annäherung für das Integral ist die Festlegung, dass der Integrand   im gesamten Integrationsintervall konstant ist und durch den Wert   am linken Rand des Integrationsintervalls ersetzt werden kann.

Der Algorithmus zur Approximation des Integrals führt auf folgende Berechnungsvorschrift:

 

Dabei bedeutet:

  •  = 
  ist der neue Wert der rekursiven Differenzengleichung.   wird dem Anfangswert zugeordnet.

Das explizite Eulerverfahren wird auch unter dem Begriff: Integrationsformel (Euler-Cauchy-Verfahren) bezeichnet.

Implizites Euler-Streckenzugverfahren (Euler Rückwärts)

Das implizite Eulerverfahren entsteht, wenn bei der Approximation des Integrals durch eine Rechteckfläche der Funktionswert nicht am linken, sondern am rechten Rand des Intervalls ausgewertet wird:[5]

 

Das führt auf folgende implizite Berechnungsvorschrift:

 

Anmerkungen:

  • Beim impliziten Euler-Verfahren hängt   von sich selbst ab. Zur Berechnung von   ist daher entweder eine Iteration oder ein Prädiktorschritt erforderlich. Dieses Problem besteht bei linearen Systemen nicht, da nach   aufgelöst werden kann.
  • Das implizite Euler-Streckenzug-Verfahren ist gegenüber dem expliziten Verfahren das stabilere Verfahren. Es wird daher z. B. bei steifen Differentialgleichungen, die sich bei Anwendungen in der Hydraulik ergeben, eingesetzt.

Einfache Differenzengleichungen mit einer Variablen

Eine Differenzengleichung ist eine diskrete Berechnungsvorschrift für die Glieder einer rekursiv definierten Folge. Sie enthält Werte einer Variablen   zu verschiedenen Zeitpunkten. Aus einem Element der Folge wird das nächste Folgeglied errechnet. Für die Berechnung der Folgeglieder wird immer ein Anfangswert   benötigt.

Es handelt sich hier bei diesem Abschnitt nicht um eine Approximation an einen Verlauf einer durch Differentialgleichungen vorgegebenen mathematischen Funktion, sondern die nachfolgend dargestellten Differenzengleichungen ergeben sich durch die Aufgabenstellung. Dabei wird bei den Folgegliedern unterschieden:

  • Bei der arithmetischen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen festen Betrag.
  • Bei der exponentiellen Folge wächst oder fällt jedes Folgeglied um einen relativen Anteil.
Beispiel: Gegeben sei eine homogene Differenzengleichung folgender Schreibweise:
 
Diese Gleichung kann nach Gleichungsumstellungen in verschiedenen Formen gleichwertig dargestellt werden:
  •  
  •  
  •  

Diese Form der Differenzengleichungen wird gerne für einfache Aufgabenstellungen wie Zinseszinsberechnung, zeitliche Entwicklung der Bevölkerungszahl, gebremstes Wachstum, Aufwärmen oder Abkühlen von Flüssigkeiten, Entleerung von Behältern (ohne Reibung) und andere verwendet. Die Berechnung dieser Aufgaben ist exakt und kann durch Berechnung der einzelnen Folgeglieder tabellarisch für die Folge   durchgeführt werden.

Für die exponentielle Folge kann eine Gleichung mit dem sogenannten Wachstumsfaktor als Basis für eine exponentielle Funktion erstellt werden, der die Berechnung einzelner Folgen   für ein beliebiges   erlaubt.

Beispiel der Berechnung einer Folge:

Aus der nachfolgenden Differenzengleichung 1. Ordnung werden die Folgeglieder bestimmt:

 .

Folge mit dem Anfangswert  :

 
 
 
 

Die Differenz   der errechneten Folgeglieder ist nicht konstant. Die Werte der Folgeglieder   nehmen einen exponentiellen Verlauf. Die Berechnung weiterer Folgeglieder kann in dieser Weise für beliebige Werte von   tabellarisch erfolgen.

Aus dieser einfachen Differenzengleichung mit Hilfe der Folgeglieder   und   lässt sich das Bildungsgesetz für ein beliebiges nummeriertes Folgeglied erraten und bilden. Damit gilt für diesen Anwendungsfall der Faktor vor   als Basis der Exponentialfunktion und wird als Wachstumsfaktor bezeichnet.

 

Beispiel einer Differenzengleichung zur numerischen Berechnung des Bevölkerungswachstums

 
Beispiel des Bevölkerungswachstums über 50 Jahre in Abhängigkeit von der Geburtenrate und der Sterberate

Gegeben:

  • Stand der Bevölkerung eines Staates zu Beginn:   Millionen
  • Konstante Geburtenrate:   pro Jahr
  • Konstante Sterberate:   pro Jahr
  • Die Schrittweite beträgt   Jahr
  • Gesucht: Entwicklung der Bevölkerung nach 50 Jahren

Gesucht: Differenzengleichung zur Bestimmung des Bevölkerungswachstums

Anfangswert:   Millionen am Anfang des ersten Jahres
Bereinigte Geburtenrate:  
Differenzengleichung:  

Entwicklung der Folgeglieder:

Jahr
k+1
  in Millionen Bevölkerung
  in Millionen
1    
2    
3    
     
50    
 
  ist hier der Wachstumsfaktor.

Die Ergebnisse der Folgegleichungen ergeben Stützstellen mit exponentiellem Wachstum.

Anmerkung: Ein mit dieser linearen Differenzengleichung berechnetes ungebremstes Wachstum wird es in der Praxis nicht geben, weil andere Einflüsse wie z. B. Nahrungsmittelknappheit dagegen wirken.

Beispiel einer numerischen Berechnung der Kapitalentwicklung mit Zinseszins

Modell: Differenzengleichungen vom Typ  

Bei der Zinseszinsberechnung handelt es sich um eine konstante Zunahme der jährlichen Zinsen bezogen auf den jeweiligen aktuellen angesparten Betrag einer Folge. Die Kapitalentwicklung vom Anfangskapital über die folgenden Jahre nimmt einen progressiven Verlauf.

Gegeben:

  • Anfangswert =   € = Kapital zu Beginn
  • Zinsfuß =  
  • Zinssatz =   pro Jahr (am Jahresende)
  • Laufzeit =   Jahre
  • Schrittweite =   Jahr

Gesucht: Differenzengleichung, Endkapital

Differenzengleichung:  
Wachstumsfaktor:  

Tabellarische Entwicklung der Folgeglieder  :

Jahr Kapital zu Beginn des Jahres in €   in € Kapital am Jahresende in €
1      
2      
3      
       
20      

Die allgemeine Zinseszinsformel mit dem Zinsfuß   pro Zeitraum, der Anzahl   der Zeiträume und dem Kapital   am Ende des  -ten Zeitraums lautet also

 

und ergibt dann für die Beispielwerte natürlich ebenfalls

 .

Anwendungen der Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Differenzenverfahren

Gewöhnliche Differenzialgleichungen, die z. B. ein dynamisches System beschreiben, können nach dem Differenzenverfahren relativ einfach gelöst werden. Dies geschieht dadurch, dass die Differenzialquotienten der Differenzialgleichung direkt durch die verschiedenen Formen der Differenzenquotienten ausgetauscht werden.

Üblich wird die unabhängige Variable mit   bezeichnet und die abhängige Variable mit   oder  . Bei Zeitvorgängen ist   die unabhängige Variable.

Die nachfolgenden Definitionen gelten für dynamische Systeme:

  ist die Ausgangsgröße des Systems,   ist die Eingangsgröße des Systems, wird seltener auch als Störfunktion bezeichnet.

Bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen werden die abhängigen Variablen der 1. Ableitung wie folgt geschrieben werden:

 

Differenzenquotienten

Bei gewöhnlichen Differenzialgleichungen kann die erste Ableitung   der Funktion   duch den Differenzenquotienten approximiert werden. Der Vorwärts-Differenzenquotient bezieht sich auf die linke Intervallgrenze.

 

Für differenzierende Systeme bezieht sich der Differenzenquotient auf das Eingangssignal  

 

Rückwärts-Differenzenquotient:

Der Rückwärts-Differenzenquotient bezieht sich auf den rechten Rand der Intervallgrenze.

 

Für differenzierende Systeme bezieht sich der Differenzenquotient auf das Eingangssignal  :

 

Zentraler Differenzenquotient:

Er entspricht dem Mittelwert der Vorwärts- und Rückwärtsdifferenz.

 

Für differenzierende Systeme bezieht sich der zentrale Differenzenquotient auf das Eingangssignal  :

 

Differenzenquotienten 2. Ordnung

Für die Berechnung linearer dynamischer Systeme 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen werden für den Austausch des Differenzialquotienten 2. Ordnung Differenzenquotienten 2. Ordnung benötigt. Diese unterscheiden wieder nach Vorwärts-, Rückwärts- und dem zentralen Differenzenquotienten.[7]

Vorwärts-Differenzenquotient:

 

Rückwärts-Differenzenquotient:

 

Zentraler Differenzenquotient:

 

Differenzialgleichungen von linearen dynamischen Systemen

Lineare dynamische Systeme werden üblich als Übertragungsfunktion   beschrieben. Sie gelten für den für "Ruhezustand" des Systems mit dem Anfangswert Null.

Laut der Systemtheorie existieren nur 6 verschiedene Formen von phasenminimalen Übertragungsfunktionen  , die einfach oder mehrfach bei dynamischen Systemen vorkommen können. Übertragungsfunktionen haben einen hohen Bekanntheitsgrad. Durch die inverse Laplace-Transformation ergeben sich mit Hilfe des Laplace-Differentiationssatzes Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung als phasenminimale Elementarsysteme.

Ein Totzeitglied   ist ein in der Praxis häufig vorkommendes lineares Übertragungsglied. Es entsteht durch Laufzeiten von Material oder Signalen. Die zugehörige Laplace-Transformierte ist keine gebrochene rationale Funktion, wie bei allen anderen linearen Übertragungsgliedern. Es ist aber numerisch leicht zu behandeln.

Tabelle wichtiger regulärer (phasenminimaler) Übertragungsfunktionen in Zeitkonstanten-Darstellung:

Übertragungsfunktion
G(s) =
           
Sprungantwort  
(Übergangsfunktion)
           
Benennung I-Glied D-Glied PD1-Glied PT1-Glied PT2-Glied Totzeitglied

Übertragungsfunktionen hintereinander geschalteter Systeme kompensieren sich vollständig zu 1, wenn z. B. ein Verzögerungsglied PT1-Glied mit einem "idealen" PD1-Glied hintereinander geschaltet sind. Das gleiche Verhalten muss auch für alle Folgeglieder der Differenzengleichungen gelten.

Differenzengleichungen für 4 Übertragungsglieder G(s)

Differenzialgleichungen können bei linearen dynamischen Systemen aus der Übertragungsfunktion G(s) über die inverse Laplace-Transformation ermittelt werden.

Die numerische Gesamtlösung des Systemverhaltens erfolgt rekursiv über viele Berechnungsfolgen   in je kleinen meist konstanten Zeitintervallen als Stützstellen in Annäherung an die analytische Funktion.

Lineare Übertragungssysteme höherer Ordnung werden pro Folge hintereinander durch die systembeschreibenden Differenzengleichungen 1. Ordnung für   pro Zeile in tabellarischer Darstellung berechnet. Dabei wird in jeder Folge (Zeile) pro Teilsystem 1. Ordnung die Ausgangsgröße   zu einer Eingangsgröße   des nächsten Teilsystems, vorausgesetzt, es handelt sich um eine Reihenschaltung der Teilsysteme. Diese Anordnung der Differenzengleichungen kann auch mit Totzeitsystemen und nichtlinearen Systemen kombiniert werden.

Das Ergebnis ist eine tabellarisch im Rechner gespeicherte Folge von Berechnungswerten (Stützstellen) mehrerer Systeme 1. Ordnung im zeitlichen Abstand   pro Zeile. Die Werte der Stützstellen mehrerer Teilsysteme lassen sich in Abhängigkeit von dem Eingangssignal   und der diskreten Zeit grafisch für die Teilsysteme und das Gesamtsystem darstellen.

Die numerische Berechnung erlaubt tabellarisch und grafisch eine völlige Durchsicht des inneren Bewegungsablaufs dynamischer Übertragungssysteme.

Die nachfolgende Berechnung und Aufstellung der Differenzengleichungen gilt für alle phasenminimalen 4 Formen der Übertragungssysteme 1. Ordnung. Diese linearen Systeme kommen einfach und mehrfach in größeren technischen Anlagen vor. Differenzengleichungen höherer Ordnung entstehen dadurch, dass die Differentialquotienten einer Differentialgleichung höherer Ordnung durch Differenzenquotienten höherer Ordnung näherungsweise ersetzt werden. Die Anwendung einer solchen Differenzengleichung kann algebraisch sehr aufwendig werden.

Differenzengleichung der Integration (I-Glied)

Die Übertragungsfunktion lautet:

 

Die zugehörige Differenzialgleichung lautet:

 

Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten   eingesetzt:

 

Damit lautet die nach   umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes:

 

Differenzengleichung des Differenzierers (ideales D-Glied)

Mit der Zeitdiskretisierung wird der Übergang einer Differenzialgleichung in eine Differenzengleichung von einer zeitkontinuierlichen Systembeschreibung in eine Systembeschreibung mit kleinen Zeitintervallen Δt der diskreten Zeit geschaffen. Der Differentialquotient wird durch einen Differenzenquotient ersetzt.

Die Übertragungsfunktion des idealen Differenzierers lautet:

 

Differenzialgleichung des idealen Differenzierers:

 

Der Differenzialquotient   wird durch einen Differenzenquotient mit der Anpassung an die linke Intervallgrenze ersetzt. Für eine Anpassung an die rechte Intervallgrenze steht der Wert u(k+1) nicht zur Verfügung.

 
Differenzengleichung der Differentiation (Ideales D-Glied)
 

Differenzengleichung der Verzögerung (PT1-Glied)

 
Rechteck-Approximation eines PT1-Gliedes durch Berechnung mit einer Differenzengleichung.

Vergleiche Bild nach Prof. Dipl.-Ing Manfred Ottens, Systemtheorie, FH-Berlin.[8]

Übertragungsfunktion des PT1-Gliedes
 
Zugehörige Differenzialgleichung
 

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung wird durch den Differenzenquotient ersetzt mit folgendem Ansatz:

 

Diese Gleichung wird nach y(k) aufgelöst.

 

Die Differenzengleichung des PT1-Gliedes lautet:

 

Differenzengleichung des PT1-Gliedes in vereinfachter Schreibweise mit identischer mathematischer Funktion:

 

Differenzengleichung der Proportional-Differenzialfunktion (Ideales PD1-Glied)

Übertragungsfunktion PD1-Glied:

 

Die zugehörige Differenzialgleichung lautet:

 

Der Differenzialquotient der Differenzialgleichung wird ersetzt durch den Differenzialalgorithmus mit folgendem Ansatz:

 

Die Differenzengleichung des idealen PD1-Gliedes lautet:

 

Anmerkung: Differenzierende Systeme ohne sogenannte parasitäre Zeitkonstanten von PT1-Gliedern lassen sich als Hardware technisch nicht herstellen. Die parasitäre Zeitkonstante ist wesentlich kleiner, als die Zeitkonstante des Differenzierers. Dennoch kann man numerisch mit idealen Differenzierern rechnen, dabei ist die Größe des Impulses der Sprungantwort umgekehrt proportional der Größe von Δt. Erst bei der energetischen Bereitstellung als Stellgröße in einem Regelkreis ergibt sich durch die nachgeschaltete Hardware eine unvermeidbare Zeitverzögerung.

Vor- und Nachteile des Eulerverfahrens

Die Berechnung von Differenzengleichungen nach Euler-Vorwärts oder Euler-Rückwärts sind in Bezug auf die Genauigkeit praktisch identisch.

  • Mit dem Verfahren Euler-Rückwärts kann ein Eingangssignal als Impulsfunktion (Stoßfunktion) für   und der Dauer   erfasst und berechnet werden. Mit dem Euler-Vorwärts-Verfahren steht für die Berechnung des 2. Folgegliedes das Eingangssignal, die Impulsfunktion, nicht mehr zur Verfügung. Alle Folgeglieder werden zu Null.
  • Mit zunehmender Verringerung der Schrittweite   und mit gegebenem Eingangssignal gleichen sich die die Funktionen beider Eulerverfahren an.

Differenzengleichung höherer Ordnung

Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung zur Berechnung der Sprungantwort eines  -Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:

Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten anstelle der Differenzialquotienten der Differenzialgleichung eines dynamischen Systems 1. Und 2. Ordnung lässt sich die so geschaffene Differenzengleichung lösen.

 
Sprungantwort eines PT2-Gliedes mit konjugiert komplexen Polen. Δt = 0,01 s.
 
Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich:
 
Sprungfunktion: u(t)=1

Gesucht: Differenzengleichung   2. Ordnung zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens.

Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation:

 

Die Differenzenquotienten für   und   werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt:

 

Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um   freistellen zu können, Hilfsgröße   eingeführt:

 
 

Berechnungsbeispiel für einige Werte der Ausgangsfolge   mit   Sprung  :

 .
 .
 .
 .

Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem Personal-Computer gelöst werden kann.

Die rekursive Berechnung der Differenzengleichung 2. Ordnung bezieht sich für die aktuelle Ausgangsfolge   durch Einsetzen der zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge   und   in die Gleichung. Für das 1. Folgeglied der Berechnungsfolge k=0 sind die zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge noch nicht verfügbar und damit Null. Die Anzahl   der Glieder der Ausgangsfolge wird durch die diskrete Zeit   und durch die gewünschte zu beobachtende Gesamtzeit des Einschwingvorgangs bestimmt.

Testsignale

Den nichtperiodischen (deterministischen) Testsignalen kommt in der Systemtheorie eine zentrale Bedeutung zu. Mit ihrer Hilfe ist es möglich, ein Übertragungssystem zu testen, auf Stabilität zu prüfen oder Eigenschaften zu ermitteln.

  siehe Regelstrecke#Testsignale

Genauigkeit der numerischen Berechnung durch die Eulerverfahren

  • Der Approximationsfehler an eine analytische Funktion nach Euler-Vorwärts oder Euler-Rückwärts fällt linear mit fallender Schrittweite  . Ist  , dann beträgt der Approximationsfehler etwa 0,1 %.
  • Der Approximationsfehler an eine analytische Funktion nach dem "Zentralen Euler-Verfahren" fällt mit dem Quadrat von  .
  • Der Rundungsfehler muss berücksichtigt werden, wenn die Folgeglieder nicht mit ausreichender Stellengenauigkeit berechnet werden. Anderenfalls addieren sich die Rundungsfehler mit jedem Folgeglied.
  • Differenzengleichungen 2. Ordnung als Schwingungsglieder
Differenzengleichungen 2. Ordnung, die dynamische Systeme im Zeitbereich beschreiben, stellen sich für eine Dämpfung   mit konjugiert komplexen Polen als Schwingungsglied dar. Solche Systeme enthalten gedämpfte sinusförmige Schwingungen, die mit schnellen Anstiegs- und Abfallgeschwindigkeiten auftreten. Für die Betrachtung der Genauigkeit der Approximation ist maßgebend, wie viel Folgen innerhalb der ersten Schwingung mit dem steilsten Gradienten stattfinden.
Die größte Änderungsgeschwindigkeit einer gedämpften sinusförmigen Schwingung liegt beim 1. Nulldurchgang und vermindert sich mit jedem weiteren Nulldurchgang.
In grober Annäherung an die analytische Funktion mit der Asymptote 1 sollte der ersten positiven Halbwelle eine Auflösung von mehr als 100 Folgen mit   gegeben werden. Der zu erwartende maximale Approximationsfehler für   liegt bei ca. 1 %.
Die Anzahl der Folgen für einen zu betrachtenden Zeitraum   hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Nichtlineare Übertragungssysteme

Relativ einfache Übertragungssystem-Strukturen mit nichtlinearen Elementen sind durch konventionelle Rechenmethoden im kontinuierlichen Zeitbereich nicht mehr geschlossen lösbar.

 
Allgemeine Darstellung eines nichtlinearen Übertragungsgliedes nach dem Hammerstein-Modell

Nach dem Hammersteinmodell wird das nichtlineare Systemverhalten in ein statisches nichtlineares Model in Verbindung als Reihenschaltung mit einem linearen dynamischen System betrachtet.

Maßnahmen zur Linearisierung nichtlinearer Übertragungssysteme:

  • Begrenzungseffrkte: Nachbildung der Begrenzung mit logischen Anweisungen,
  • Nichtlineare Kennlinie: Anwendung eines Modellregelkreises zwingt zur Linearität,
  • Nichtlinearität: durch logische Befehle wie logische Anweisungen z. B. IF-THEN-ELSE-Anweisungen oder Tabellen, die die statische Nichtlinearität beschreiben.
  • Systemtotzeit  : Berechnung eines Annäherungsmodells mit Verzögerungen höherer Ordnung oder Allpassglieder,
Speicherung von Folgegliedern mit Zugriff auf zeitlich mit   zurückligende Folgeglieder.
  • Hysterese: Die nichlineare Funktion wird in Tabellen gespeichert.

  siehe auch Bild Regelungstechnik#Nichtlineares Übertragungssystem

  siehe auch Totzeit (Regelungstechnik)#Annäherung an das Verhalten eines Totzeitgliedes durch PTn-Glieder als Ersatztotzeit

z-Übertragungsfunktion

Wendet man den Rechtsverschiebungssatz der z-Transformation auf Differenzengleichungen an, so erhält man daraus direkt als Verhältnis der z–Transformierten von Eingangs- und Ausgangsfolge die z–Übertragungsfunktion des diskreten Systems. Zu der Anwendung mit linearen Systemen folgende Informationen:

  • Die Differenzengleichungen   können ausschließlich mit Hilfe des Linearitätssatzes und Verschiebungssatzes in den komplexen z-Bildbereich und in die z-Übertragungsfunktionen   überführt werden.
  • Gegebene Übertragungsfunktionen des s-Bereiches in Verbindung mit Haltegliedern und Abtastelementen können ebenfalls mit Hilfe der z-Korrespondenztabellen als z-Übertragungsfunktion transformiert werden.
  • Die z-Übertragungsfunktion lautet:
 .
  • Die Rücktransformation von der z-Übertragungsfunktion in den zeitdiskreten Bereich als Differenzengleichung erfolgt durch den invers angewendeten Linearitätssatz und Verschiebungssatz für alle einzelnen Terme.

Anwendung der z-Übertragungsfunktion in einem Regelkreis

Siehe auch z-Transformation#Anwendung der z-Übertragungsfunktion für einen digitalen PI-Regler mit Abtastfunktion und Halteglied.

Es können sowohl abgetastete Eingangssignale u(kTA) als auch Differenzengleichungen f(kTA), die im diskreten Zeitbereich das Verhalten eines Systems (z. B. den Regelalgorithmus eines Reglers) beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.

Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung   im  -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den zeitdiskreten k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich f(kTA).

Die typische Anwendungsprozedur der z-Transformation an einem digitalen Systems, einem digitalen Regler oder einem digitalen Filter lautet für den Regelalgorithmus wie folgt:

  • Die Abtastfolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) wird transformiert als z-Übertragungsfunktion  ,
  • Die Differenzengleichung   des gewünschten Reglerverhaltens wird transformiert als z-Übertragungsfunktion  ,
  • Die z-transformierten Systeme werden algebraisch entsprechend den z-Rechenregeln zusammengefasst,
  • Mit der inversen z-Transformation des z-Produktes von Signal und Regelalgorithmus entsteht der Berechnungsalgorithmus des digitalen Reglers (Mikro Computers) wieder als Differenzengleichung.

Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lässt sich mit der z-Transformation erleichtern, setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus, dass zum Teil auf ähnliche Regeln wie bei der Laplace-Transformation aufgebaut ist.

  Siehe Artikel z-Transformation.

Differenzengleichungen in der Ökonomie

In der ökonomischen Theorie kommen Differenzengleichungen vor allem zum Einsatz, um die Entwicklung ökonomischer Größen über die Zeit zu analysieren. Vor allem in der Wachstumstheorie und Konjunkturtheorie werden zeitliche Abläufe vielmals in Form von Differenzengleichungen abgebildet.[9]

Man geht dabei davon aus, dass z. B. das Bruttoinlandsprodukt sich auf einem bestimmten Pfad hin zu einem langfristigen Gleichgewicht entwickelt, in dem alle Kapazitäten ausgelastet sind. Je nach Lösung der Differenzengleichung ergibt sich der Entwicklungspfad als asymptotischer Verlauf oder als schwingender Verlauf (in etwa Kosinus-Kurven). Es bleibt aber nicht aus, dass zur mathematischen Modellierung (z. B. beim Bruttoinlandsprodukt) einige vereinfachende Annahmen gemacht werden müssen (z. B. über die Lagerbildung, Konsum als Anteil des BIP oder Investitionssteigerung durch Gewinnerwartung).

  • Anwendung von Differenzengleichung 1. Ordnung

Ein weiteres klassisches Beispiel ist das Spinnwebtheorem (auch cobweb theorem). Die Entwicklung der Preise und Mengen folgt rekursiven Funktionen oder, mathematisch ausgedrückt, allgemeinen Differenzengleichungen erster Ordnung.[10]

  • Anwendung von Differenzengleichung 2. Ordnung

Das Multiplikator-Akzelerator-Modell will erklären, warum das wirtschaftliche Wachstum nicht monoton verläuft, sondern typischerweise einem Konjunkturzyklus folgt. Das Modell lässt sich aus dem Wachstumsmodell von Harrod und Domar heraus entwickeln, eine besondere Variante stammt von Paul A. Samuelson (1939) und John Richard Hicks (1950).[11]

Siehe auch

Literatur

  • May-Britt Kallenrode: Rechenmethoden der Physik: Mathematischer Begleiter zur Experimentalphysik, Springer, 2005
  • Paul Cull, Mary Flahive, Robby Robson: Difference equations. From Rabbits to Chaos, Springer, Undergraduate Texts in Mathematics, 2005
  • Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 11. Auflage. Europa-Lehrmittel, 2019, ISBN 978-3-8085-5869-0.
  • Gerd Schulz: Regelungstechnik 2 / Mehrgrößenregelung, Digitale Regelungstechnik, Fuzzy-Regelung. 2. Auflage. Oldenbourg, 2008, ISBN 978-3-486-58318-2.
  • Jan Lunze: Regelungstechnik 2, Mehrgrößensysteme, Digitale Regelung. 7. Auflage. Springer Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-10197-7.
  • Krause, Nesemann: Differenzengleichungen und diskrete dynamische Systeme. Eine Einführung in Theorie und Anwendungen. 1999. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, 1999, ISBN 978-3-519-02639-6.
  • Alan V. Oppenheim, R. W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. Pearson Education, Upper Saddle River, N. J. 2004, ISBN 3-8273-7077-9.

Weblinks

Einzelnachweise

  1. Jürgen Koch, Martin Stämpfle: Mathematik für das Ingenieurstudium. Hanser, 2015, ISBN 978-3-446-44454-6, S. 545–546 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Barbara Wohlmuth: Numerische Verfahren für gewöhnliche Differentialgleichungen. (PDF) In: Skript, TU München, Lehrstuhl für numerische Mathematik. Abgerufen am 16. Juli 2020.
  3. Jürgen Dankert: Numerische Integration von Anfangswertproblemen. Skript, HAW-Hamburg, 39 Seiten.
  4. Lutz, Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik. Kapitel Basisalgorithmen Digitale Regelungen.
  5. a b Herbert Oertel jr., Martin Böhle, Thomas Reviol: Strömungsmechanik: Grundlagen - Grundgleichungen - Lösungsmethoden ... 6. Auflage. Vieweg+Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1397-8, S. 364 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6. Prof. Dr. Johannes Wandinger, Hochschule München, Skript „Numerische Methoden, Anfangswertproblem“. Aufruf unter Google: Euler-Vorwärts, dann Anfangswertproblem 1. Ordnung, Prof. Dr. Wandinger
  7. Abhandlung Taylorreihenentwicklung: tu-berlin.de/Lehre/tfd_skript/node11.html
  8. Skript „Grundlagen der Systemtheorie“, Prof. Dipl.-Ing. Manfred Ottens, FH Berlin, siehe „Kontinuierliche und zeitdiskrete Signale und Systeme“ und „Ausgangsfolge des zeitdiskreten Verzögerungsgliedes“.
  9. Differenzengleichung. Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.
  10. Arthur Woll: Allgemeine Volkswirtschaftslehre. Vahlen Franz GmbH, 12. Auflage, 1996, ISBN 3800629739, Seite 111 zur mathematischen Herleitung.
  11. Multiplikator-Akzelerator-Modelle. Definition im Gabler Wirtschaftslexikon.