Nilpotentes Element

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Ein nilpotentes Element ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Ein Element eines Rings heißt nilpotent, wenn es genügend oft mit sich selbst multipliziert das Nullelement ergibt.

DefinitionBearbeiten

Ein Element   eines Ringes   heißt nilpotent, wenn eine positive natürliche Zahl   existiert, sodass   gilt. Ein Ideal   wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl   existiert, sodass   gilt.

BeispieleBearbeiten

Beispielsweise ist die Matrix
 
nilpotent, denn es gilt
 .
(Für spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel nilpotente Matrix.)
  • Im Restklassenring   sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder eine Einheit.
  • Im Restklassenring   sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.
  • Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da   ist.

EigenschaftenBearbeiten

Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte Nilradikal.

Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.[1]

Sei im Folgenden   ein Ring,   ein nilpotentes Element von   und   die kleinste natürliche Zahl mit  .

  • Ist  , dann ist   und   ist Nullteiler, denn   und  .

Ist zusätzlich   ein Ring mit 1 und nicht der Nullring, dann gilt:

  •   ist nicht invertierbar (bzgl. der Multiplikation), denn aus   für ein Ringelement   folgt der Widerspruch   (  war minimal gewählt!).
  •   ist invertierbar, denn es gilt  .
  • Ist   eine Einheit von  , die mit   kommutiert, dann ist auch   invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als   sieht.

Sei   ein Restklassenring   und   das Produkt aller Primteiler von  , d. h. aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung von   auftreten. Z. B. für   ist  . Dann sind die nilpotenten Elemente von   genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von   sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist   der größte Exponent, der in der Primfaktorzerlegung von   auftritt, dann ist   ein Vielfaches von  ; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom   ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von   besitzen.

Ein Ring, der außer der Null keine nilpotenten Elemente enthält, wird reduziert genannt.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Serge Lang: Algebra, 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag 2005, ISBN 978-0387953854, S. 417.