Krulldimension

algebraische Definition der Dimension eines Raumes

Die Krulldimension eines topologischen Raums ist ein nach Wolfgang Krull benannter topologischer Dimensionsbegriff. Dieser wird durch algebraische Untersuchungen von Ringen in der algebraischen Geometrie motiviert und steht in enger Beziehung zur Dimension eines Ringes.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein topologischer Raum. Die Krulldimension (oder auch kombinatorische Dimension) ist das Supremum aller Längen   von Ketten

 

von nichtleeren, abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen. Diese wird mit   bezeichnet.[1][2]

Bezug zur RingtheorieBearbeiten

Ist   ein kommutativer Ring mit Einselement, so betrachtet man auf dem Spektrum   üblicherweise die Zariski-Topologie. Ordnet man einem Primideal die Menge aller es umfassenden Primideale zu, so erhält man eine bijektive Beziehung zwischen   und der Menge aller nichtleeren abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen von  . Daher ist die in der kommutativen Algebra betrachtete Dimension eines Ringes, die über die maximale Länge von Primidealketten definiert wird, nichts anderes als die oben definierte Krulldimension seines Spektrums.

Die Krulldimension eines noetherschen Rings   hat die folgenden Eigenschaften:

  •  
  •  
  • wenn   ein Integritätsbereich und eine endlich erzeugte  -Algebra ist, dann ist   der Transzendenzgrad   und für jedes Primideal   gilt  .

BeispieleBearbeiten

  • Ein nichtleerer Hausdorffraum hat die Krulldimension 0, denn die irreduziblen Teilmengen sind genau die einpunktigen Mengen.
  •   versehen mit der Zariski-Topologie, das heißt abgeschlossen sind die gemeinsamen Nullstellenmengen von Mengen von Polynomen in   Unbestimmten, hat die Dimension  . Alle Zariski-abgeschlossenen echten Teilmengen haben eine kleinere Dimension.[3]
  • Ist   ein Noetherscher Ring, so gilt für den Polynomring  :
 
  • Ist   eine ganze Ringerweiterung, so gilt:  
  • Für einen beliebigen kommutativen unitären Ring   gilt:   und für jedes Paar   von natürlichen Zahlen mit   gibt es einen Ring   mit   und  .
  • Es gilt für den Potenzreihenring über einem Noetherschen Ring  :  .
  • In einem Noetherschen Ringe   gilt für ein Element  , welches nicht transzendent über   ist:  .

Vergleich mit anderen DimensionsbegriffenBearbeiten

Da alle Hausdorffräume die Krulldimension 0 haben, stimmt diese nicht mit der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension oder den induktiven Dimensionen überein. Dass die Dimension des   im obigen Beispiel mit der Lebesgue'schen Überdeckungsdimension übereinstimmt ist nur richtig, weil man im ersten Fall die Zariski-Topologie und im zweiten Fall die echt feinere euklidischen Topologie betrachtet.

Ist   ein noetherscher Raum mit Krulldimension  , so ist auch die kohomologische Dimension  .[4]

KodimensionBearbeiten

Ist   eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge, so nennt die maximale Länge aller Ketten

 

von nichtleeren, abgeschlossenen, irreduziblen Teilmengen die Kodimension von   und bezeichnet sie mit  . Für eine beliebige abgeschlossene Teilmenge   definiert man

  als das Infimum der  , wobei   die irreduziblen Komponenten von   durchläuft.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Krulldimension eines topologischen Raumes ist gleich dem Supremum der Krulldimensionen seiner irreduziblen Komponenten.
  • Ist   mit abgeschlossenen Teilmengen  , so ist  .[5]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Definition II,1.1.
  2. Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie. Grundlegende Begriffe und Techniken mit zahlreichen Beispielen und Anwendungen. Vieweg, Braunschweig u. a. 2000, ISBN 3-528-03156-5, Kapitel III: Glatte Punkte und Dimension.
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Satz II,3.11 (b).
  4. Jacob Lurie: Higher Topos Theory (= Annals of Mathematics Studies. 170). Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2009, ISBN 978-0-691-14049-0, Corollary 7.2.4.10.
  5. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie (= Vieweg-Studium. Bd. 46). Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07246-6, Regeln II,1.2.