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DefinitionenBearbeiten

Es gibt in der Literatur und in der akademischen und wissenschaftlichen Praxis eine ganze Reihe verschiedener, aber ähnlicher Definitionen eines euklidischen Ringes. Oft sind darin bereits speziellere Eigenschaften enthalten, was z. B. Erleichterungen in der Formulierung der im Weiteren aufgespannten Theorie bringen kann. All diesen Definitionsvarianten ist jedoch gemeinsam, dass in einem euklidischen Ring eine Division mit Rest und damit ein euklidischer Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Ringelemente möglich ist. Von dieser Eigenschaft ist der Name abgeleitet.

Variante 1Bearbeiten

Ein Integritätsring   (auch als Integritätsbereich bezeichnet, also ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit 1) heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion   mit folgenden Eigenschaften existiert:

  • für alle   mit   existieren Elemente   mit   (Division mit Rest), wobei entweder   oder   ist, und
  • für   gilt stets  .

Die Bewertungsfunktion   heißt dann auch euklidische Normfunktion (euklidischer Betrag) des Ringes.

Variante 2Bearbeiten

Die obenstehende Definition ist fast äquivalent zu der folgenden, ebenfalls häufig verwendeten, in der jedoch zusätzlich eine Bewertung für die Null vorgegeben wird.

Definition:
Ein Integritätsring   heißt euklidischer Ring, falls eine Bewertungsfunktion   existiert mit folgenden Eigenschaften:

  •  
  • für alle   mit   existieren Elemente   mit   (Division mit Rest), wobei   ist, und
  • für   gilt stets  .

Variante 3Bearbeiten

Eine andere Variante liefert die folgende

Definition:[1]
Ein Integritätsring   (hier nur: ein kommutativer, nullteilerfreier Ring mit wenigstens einem von Null verschiedenen Element) heißt euklidischer Ring, falls eine Gradfunktion   existiert mit folgenden Eigenschaften:

  • für alle   mit   existieren Elemente   mit   (Division mit Rest), wobei entweder   oder   ist.

Variante 3 wirkt nur vermeintlich schwächer. Tatsächlich gilt: Existiert auf einem Integritätsring (mit 1) eine der drei oben genannten Bewertungsfunktionen, so gibt es auch Bewertungsfunktionen, die den anderen beiden Definitionen entsprechen.[2] Daraus folgt, dass die drei Definitionen von euklidischer Ring äquivalent sind, obwohl die Definition von Bewertungsfunktion abweichen.

Eine weitere wesentlich allgemeinere, aber seltener verwendete Variante, in der die Bewertungsfunktion reellwertig ist, ist aber nicht unbedingt äquivalent zu den obigen Definitionen:

Variante 4Bearbeiten

Definition:[3]
Ein Integritätsring   heißt euklidischer Ring, falls eine Wertefunktion (bzw. Bewertungsfunktion)   existiert mit folgenden Eigenschaften:

  • für alle   mit   existieren Elemente   mit   (Division mit Rest), wobei entweder   oder   ist, und
  • zu gegebenem   gibt es höchstens endlich viele reelle Zahlen   aus dem Wertebereich   von  , die kleiner sind als  . Formaler:  :  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Für Bewertungsfunktionen der Varianten 1 und 2 gilt: Assoziierte Elemente werden identisch bewertet, insbesondere sind die Einheiten die (vom Nullelement abgesehen) minimal bewerteten Elemente des Rings.
  • Es lässt sich zeigen, dass jeder euklidische Ring eine minimale Bewertungsfunktion besitzt; diese ist von der obigen Variante 2. Es existiert sogar ein Algorithmus zu ihrer iterativen Bestimmung. Das Finden einer geschlossenen Form für diese minimale Bewertungsfunktion ist jedoch im Allgemeinen sehr aufwendig.
  • Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealbereich, denn wenn   ein minimal bewertetes Element eines Ideals   ist, so ist  , also ein Hauptideal. Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell.

Beispiele für euklidische und nichteuklidische RingeBearbeiten

  • Der Ring   der ganzen Zahlen ist ein euklidischer Ring. Die natürlichste Wahl für einen euklidischen Betrag ist    
    Der minimale euklidische Betrag einer ganzen Zahl ist gegeben durch die Länge der Binärdarstellung ihres Absolutbetrages.
  • Jeder Körper   ist ein euklidischer Ring mit Bewertungsfunktion   und   für  
  • Der Polynomring   über einem Körper   in einer Variablen   ist ein euklidischer Ring, wobei die euklidische Norm durch den Grad eines Polynoms gegeben ist; dies ist bereits die minimale euklidische Norm.
  • Dagegen ist z. B. der Polynomring   kein euklidischer Ring, da das Ideal   kein Hauptideal ist.
  • Der Ring   der gaußschen Zahlen mit der quadratischen Norm (Absolutbetrag)     ist ein euklidischer Ring.
  • Der Ring   ist nicht euklidisch, da   und 4 keinen ggT haben (zwei „maximale gemeinsame Teiler“ sind   und 2, die aber teilerfremd sind).
  • Der Ganzheitsring des quadratischen Körpers   mit quadratfreiem   ist genau dann euklidisch mit der quadratischen Norm, wenn   eine der folgenden 21 Zahlen ist:[4][5]
    –11, –7, –3, –2, –1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73[6]
      entspricht den gaußschen Zahlen,   den Eisenstein-Zahlen   und   dem Ring  
    Es gibt jedoch andere, z. B.  ,[7] für die der Ring mit einer anderen Norm euklidisch ist.

Verallgemeinerung auf Ringe mit NullteilernBearbeiten

Die Definitionen lassen sich auf Ringe übertragen, die nicht nullteilerfrei sind[2]. Die obigen Aussagen über die verschiedenen Varianten von Definitionen bleiben bestehen, wobei ggf. die Ungleichung   für   zu fordern ist. Solche Ringe haben wie im nullteilerfreien Fall die Eigenschaft, dass jedes Ideal ein Hauptideal ist. Sie sind also ein Hauptidealring im erweiterten Sinne ("principal ideal ring" oder "PIR"), aber eben kein Hauptidealbereich ("principal ideal domain" oder "PID").

Verallgemeinerung auf nicht-kommutative RingeBearbeiten

Die Definitionen lassen sich sogar auf nicht-kommutative Ringe verallgemeinern, man spricht dann von links- bzw. rechtseuklidisch. Die Hurwitzquaternionen sind ein Beispiel für einen nicht-kommutativen Ring, der mit seiner Norm als euklidischer Norm sowohl links- als auch rechtseuklidisch ist.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Kurt Meyberg: Algebra – Teil 1, Carl Hanser Verlag München, Wien.
  2. a b Pierre Samuel: About Euclidean rings. In: Journal of Algebra. Band 19, Nr. 2, Oktober 1971, ISSN 0021-8693, S. 282–301, doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4.
  3. Bernhard Hornfeck: Algebra. 3. Auflage, deGruyter 1976. ISBN 3-11-006784-6, S. 142
  4. László Rédei: Zur Frage des Euklidischen Algorithmus in quadratischen Zahlkörpern. In: Mathematische Annalen. 118, 1942, S. 588–608.
  5. Eric W. Weisstein: Quadratic Field. In: MathWorld (englisch).
  6. Folge A048981 in OEIS
  7. David A. Clark: A quadratic field which is euclidean but not norm-euclidean Archiviert vom Original am 29. Januar 2015.   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.math.clemson.edu In: Manuscripta Math.. 83, 1994, S. 327–330. Abgerufen am 8. Januar 2013.

LiteraturBearbeiten