Multinomialkoeffizient

Der Multinomialkoeffizient oder auch Polynomialkoeffizient ist eine Erweiterung des Binomialkoeffizienten. Für nichtnegative ganze Zahlen und ist er definiert als

Dabei ist die Fakultät von .

EigenschaftenBearbeiten

Die Multinomialkoeffizienten sind stets ganze Zahlen.

Die Multinomialkoeffizienten lassen sich auch mit den Binomialkoeffizienten ausdrücken als

 .

Anwendungen und InterpretationenBearbeiten

MultinomialsatzBearbeiten

In Verallgemeinerung des binomischen Satzes gilt das sogenannte Multinomialtheorem (auch Polynomialsatz)

 .

Aus dem Multinomialsatz folgt sofort:

 

MultinomialverteilungBearbeiten

Anwendung finden jene Koeffizienten auch in der Multinomialverteilung

 ,

einer Wahrscheinlichkeitsverteilung diskreter Zufallsvariablen.

Kombinatorische DeutungenBearbeiten

Objekte in KistenBearbeiten

Der Multinomialkoeffizient   gibt die Anzahl der Möglichkeiten an,   Objekte in   Schachteln zu legen, wobei in die erste Schachtel genau   Objekte sollen, in die zweite Schachtel   Objekte usw.

BeispielBearbeiten

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, von den 32 Karten eines Skatspiels je 10 Karten den 3 Spielern sowie 2 Karten in den "Skat" zu geben, wenn die Reihenfolge der Karten nicht beachtet wird?

Da es sich um   Objekte handelt, die in   Schachteln aufzuteilen sind, wobei in die ersten drei Schachteln je   Objekte und in die vierte Schachtel   Objekte sollen, ist die Anzahl der Möglichkeiten durch folgenden Multinomialkoeffizienten gegeben:

 

Anordnung von DingenBearbeiten

Der Multinomialkoeffizient   gibt außerdem die Anzahl der verschiedenen Anordnungen von   Dingen an, wobei das erste  -mal (ununterscheidbar) vorkommt, das zweite  -mal usw.

BeispielBearbeiten

Wie viele verschiedene „Wörter“ lassen sich aus den Buchstaben MISSISSIPPI bilden?

Gesucht ist also die Anzahl der Möglichkeiten, 11 Dinge anzuordnen, wobei das erste ("M")  -mal, das zweite ("I")  -mal (ununterscheidbar) vorkommt, das dritte ("S") ebenso und das vierte ("P")  -mal. Das ist also der Multinomialkoeffizient

 

Zum Vergleich: Die Anzahl der Möglichkeiten, elf komplett verschiedene Dinge in Reihen anzuordnen, ist mit 11! = 39.916.800 wesentlich höher.

Pascalsche SimplizesBearbeiten

Analog zum pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten lassen sich auch die  -ten Multinomialkoeffizienten als geometrische Figuren (Simplizes) anordnen: Die Trinomialkoeffizienten führen zur pascalschen Pyramide, die weiteren zu  -dimensionalen pascalschen Simplizes.

WeblinksBearbeiten