Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms $x+y$, also einen Ausdruck der Form

$(x+y)^{n},\quad n\in \mathbb {N}$

als Polynom $n$-ten Grades in den Variablen $x$ und $y$ auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form $(x+y)^{n}$ auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente $x$ und $y$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N} _{0}$ gilt die Gleichung:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad (1)$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen $x$ und $y$ (mit der Konvention $0^{0}=1$).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{1\cdot 2\dotsm k}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot {k!}}}$,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n!=1\cdot 2\dotsm n$ ist hierbei die Fakultät von $n$ bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme ${\tbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${\tbinom {n}{k}}$ an das Ringelement $x^{n-k}y^{k}$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $\mathbb {Z}$-Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall $n=2$ heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

• Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente $x$ und $y$ in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. $x\cdot y=y\cdot x$ gilt.
• Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

$(x+y)^{n}=x^{n}+\left[\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right]+y^{n}$.

• Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl $n$ kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden. Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis. Für jedes konkrete $n$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele

$(x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}$

$(x-y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}(-y)+{\binom {3}{2}}\,x(-y)^{2}+{\binom {3}{3}}\,(-y)^{3}=x^{3}-3\,x^{2}y+3\,xy^{2}-y^{3}$

${\big (}a+ib{\big )}^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}i^{k}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}$, wobei $i$ die imaginäre Einheit ist.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten $\alpha$ mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn $\alpha$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

$(x+y)^{\alpha }=x^{\alpha }\left(1+{\tfrac {y}{x}}\right)^{\alpha }=x^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}\quad (2)$.

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle $x,y\in \mathbb {R}$ mit $x>0$ und $\left|{\tfrac {y}{x}}\right|<1$.

Im Spezialfall $\alpha \in \mathbb {N}$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x,y\in \mathbb {C}$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dotsm (\alpha -k+1)}{k!}}$

Im Fall $k=0$ entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für $\alpha =-1$ und $x=1$ ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur

• M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6, S. 26
• Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 9783835102163, S. 52-55
• Thomas Koshy: Catalan Numbers with Applications. Oxford University Press, 2009, ISBN 9780195334548, S. 28-36
• Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783662056943, S. 29-31

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz – Lern- und Lehrmaterialien

• Binomischer Lehrsatz (Eigenschaften von Binomiakoeffizoenten und Beweis des Satzes per Induktion)
• Binomischer Lehrsatz (Video, kombinatorischer Beweis)
• Eric W. Weisstein: Binomial Theorem. In: MathWorld (englisch).
• The Binomial Theorem bei Khan Academy (Video, englisch)