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Leere Summe

Sonderfall einer Summe mit null Summanden

Die leere Summe ist in der Mathematik der Sonderfall einer Summe mit null Summanden. Der leeren Summe wird der Wert Null, das neutrale Element der Addition, zugewiesen. Das Gegenstück der leeren Summe für die Multiplikation ist das leere Produkt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Summe von Zahlen heißt leer, wenn die Menge der Zahlen, über die summiert wird, die leere Menge ist. Das Resultat der leeren Summe wird als die Zahl Null definiert. In der Summenschreibweise bedeutet dies

 ,

wenn die Indexmenge   ist. Insbesondere erhält man eine leere Summe, wenn bei einer endlichen Summe der Startindex   größer als der Endindex   ist. Es gilt also

 ,

wann immer   ist, denn die Indexmenge   ist dann leer.[1][2] Da es genau eine Möglichkeit gibt, nichts zu addieren, spricht man auch von der leeren Summe.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Summen sind nicht nur für Zahlen definiert, sondern auch in allgemeineren algebraischen Strukturen, wie beispielsweise Vektorräumen, Körpern, Ringen oder abelschen Gruppen. Die leere Summe von Elementen einer solchen algebraischen Struktur ergibt dann das neutrale Element der Struktur bezüglich der Addition. Beispielsweise ergibt die leere Summe von Vektoren   eines Vektorraums   den Nullvektor  , das heißt

 ,

denn der Nullvektor stellt in   gerade das neutrale Element bezüglich der Vektoraddition dar.[3]

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Leere Summe – Lern- und Lehrmaterialien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1. Springer, 2009, S. 90 f.
  2. Liesen, Mehrmann: Lineare Algebra: Ein Lehrbuch über die Theorie mit Blick auf die Praxis. Gabler, 2012, S. 924.
  3. Deiser, Lasser, Vogt, Werner: 12 × 12 Schlusselkonzepte Zur Mathematik. Springer, 2011, S. 114.