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Formelsammlung Trigonometrie

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(Weitergeleitet von Additionstheoreme (Trigonometrie))
Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Trigonometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Inhaltsverzeichnis

DreieckberechnungBearbeiten

Die folgende Liste enthält die meisten bekannten Formeln aus der Trigonometrie in der Ebene. Die meisten dieser Beziehungen verwenden trigonometrische Funktionen.

Dabei werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck   habe die Seiten  ,   und  , die Winkel  ,   und   bei den Ecken  ,   und  . Ferner seien   der Umkreisradius,   der Inkreisradius und  ,   und   die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken  ,   bzw.   gegenüberliegen) des Dreiecks  . Die Variable   steht für den halben Umfang des Dreiecks  :  . Schließlich wird die Fläche des Dreiecks   mit   bezeichnet. Alle anderen Bezeichnungen werden jeweils in den entsprechenden Abschnitten, in denen sie vorkommen, erläutert.

WinkelsummeBearbeiten

 

SinussatzBearbeiten

Formel 1:

 

Formel 2:

wenn  

 
 

wenn  

 
 

wenn  

 
 

KosinussatzBearbeiten

Formel 1:

 
 
 

Formel 2:

wenn  

 
 

wenn  

 
 

wenn  

  (Satz des Pythagoras)
 
 

ProjektionssatzBearbeiten

 
 
 

Die Mollweideschen FormelnBearbeiten

 
 

TangenssatzBearbeiten

Formel 1:

 

Analoge Formeln gelten für   und  :

 
 

Formel 2:

wenn  

 
 

wenn  

 
 

wenn  

 
 

Formeln mit dem halben UmfangBearbeiten

Im Folgenden bedeutet   immer die Hälfte des Umfangs des Dreiecks  , also  .

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Flächeninhalt und UmkreisradiusBearbeiten

Der Flächeninhalt des Dreiecks wird hier mit   bezeichnet (nicht, wie heute üblich, mit  , um eine Verwechselung mit der Dreiecksecke   auszuschließen):

Den Umkreisradius des Dreiecks   bezeichnen wir mit  .

(Es ist zu beachten, dass die hier benutzten Bezeichnungen  ,  ,  ,  ,   für den Umkreisradius, den Inkreisradius und die drei Ankreisradien von der vorwiegend im englischsprachigen Raum verbreiteten Bezeichnungsweise abweichen, bei der dieselben Größen  ,  ,  ,  ,   genannt werden.)

Heronsche Formel:

 

 
 
 , wobei  ,   und   die Längen der von  ,   bzw.   ausgehenden Höhen des Dreiecks   sind.
 
 
 
 
 
 
 , mit  

Erweiterter Sinussatz:

 

 
 
 
 

In- und AnkreisradienBearbeiten

In diesem Abschnitt werden Formeln aufgelistet, in denen der Inkreisradius   und die Ankreisradien  ,   und   des Dreiecks   vorkommen.

 
 
 
 
 
 
  [1]

Wichtige Ungleichung:  ; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn Dreieck   gleichseitig ist.

 
 
 
 
 

Die Ankreise sind gleichberechtigt: Jede Formel für   gilt in analoger Form für   und  .

 

HöhenBearbeiten

Die Längen der von  ,   bzw.   ausgehenden Höhen des Dreiecks   werden mit  ,   und   bezeichnet.

 
 
 
 
 
 

Hat das Dreieck   einen rechten Winkel bei   (ist also  ), dann gilt

 
 
 

SeitenhalbierendeBearbeiten

Die Längen der von  ,   bzw.   ausgehenden Seitenhalbierenden des Dreiecks   werden  ,   und   genannt.

 
 
 
 

WinkelhalbierendeBearbeiten

Wir bezeichnen mit  ,   und   die Längen der von  ,   bzw.   ausgehenden Winkelhalbierenden im Dreieck  .

 
 
 

Allgemeine Trigonometrie in der EbeneBearbeiten

Gegenseitige DarstellungBearbeiten

Die trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

 
       („Trigonometrischer Pythagoras“)
 
 

(Siehe auch den Abschnitt Phasenverschiebungen.)

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  
  für  

Vorzeichen der WinkelfunktionenBearbeiten

 
 
 
 
 
 

Die Vorzeichen von  ,   und   stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen  ,   bzw.  .

Wichtige FunktionswerteBearbeiten

 
Darstellung wichtiger Funktionswerte von Sinus und Kosinus auf dem Einheitskreis
  (°)   (rad)        
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           
           

Es sind noch viele weitere Werte darstellbar.[2]

SymmetrienBearbeiten

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

 
 
 
 
 
 

PhasenverschiebungenBearbeiten

 
 
 
 

Rückführung auf spitze WinkelBearbeiten

 
 
 

Darstellung durch den Tangens des halben WinkelsBearbeiten

Mit der Bezeichnung   gelten die folgenden Beziehungen für beliebiges  

     
     
     

AdditionstheoremeBearbeiten

 [3]
 [3]
 
 

Für   folgen hieraus die Doppelwinkelfunktionen, für   die Phasenverschiebungen.

 
 

Additionstheoreme für ArkusfunktionenBearbeiten

Für die Arkusfunktionen gelten folgende Additionstheoreme[4]

Summanden Summenformel Gültigkeitsbereich
      oder  
    und   und  
    und   und  
      oder  
    und   und  
    und   und  
     
   
     
   
     
    und  
    und  
     
    und  
    und  

DoppelwinkelfunktionenBearbeiten

 
 
 
 

Winkelfunktionen für weitere VielfacheBearbeiten

Die Formeln für Vielfache berechnen sich normalerweise über die komplexen Zahlen aus der Euler-Formel   und der DeMoivre-Formel  . Damit ergibt sich  . Zerlegung in Real- und Imaginärteil liefert dann die Formeln für   und   bzw. die allgemeine Reihendarstellung.

Die Formel für   steht über  [5] mit den Tschebyschow-Polynomen in Beziehung.

 [6]
 
 [7]
 
 [8]
 
 [9][10]
 
 
 [11]
 [12]
 [13]
 [14]
 [10][15]
 
 [10]
 [10]
 [10]
 [10]

HalbwinkelformelnBearbeiten

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln[10], welche sich mittels Substitution aus den Doppelwinkelformeln herleiten lassen:

 
 
 
 

Außerdem gilt:

 
 

Siehe auch: Halbwinkelsatz

Summen zweier trigonometrischer Funktionen (Identitäten)Bearbeiten

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit deren Hilfe die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt dargestellt werden kann:[10]

 
 
 
 
 
 

Daraus ergeben sich noch Spezialfälle:

 
 

Produkte der WinkelfunktionenBearbeiten

Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgenden Formeln berechnen:[10]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Aus der Doppelwinkelfunktion für   folgt außerdem:

 

Potenzen der WinkelfunktionenBearbeiten

SinusBearbeiten

 [10][16]
 [10][17]
 [10][18]
 [19]
 [20]
 
 
 

KosinusBearbeiten

 [10][21]
 [10][22]
 [10][23]
 [24]
 [25]
 
 
 

TangensBearbeiten

 

Umrechnung in andere trigonometrische FunktionenBearbeiten

 
 
 
 
 
 

Weitere Formeln für den Fall α + β + γ = 180°Bearbeiten

Die folgenden Formeln gelten für beliebige ebene Dreiecke und folgen nach längeren Termumformungen aus  , solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Sinusoid und Linearkombination mit gleicher PhaseBearbeiten

 
 [26]
 

wobei  

Allgemeiner ist

 

wobei

 

und

 

ReihenentwicklungBearbeiten

 
Der Sinus (rot) verglichen mit seinem 7. Taylorpolynom (grün)

Wie auch sonst in der Analysis werden alle Winkel im Bogenmaß angegeben.

Man kann zeigen, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt und die Ableitung des Kosinus der negative Sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln (am einfachsten mit dem Entwicklungspunkt  ) und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle   aus den reellen Zahlen gelten. Mit diesen Reihen werden die trigonometrischen Funktionen für komplexe Argumente definiert (  bzw.   bezeichnet dabei die Bernoulli-Zahlen):

 
 
 [27]
 [28]

ProduktentwicklungBearbeiten

 
 
 
 
 
 
 
 

Zusammenhang mit der komplexen ExponentialfunktionBearbeiten

Ferner besteht zwischen den Funktionen  ,   und der komplexen Exponentialfunktion   folgender Zusammenhang:

  (Eulersche Formel)

Weiterhin wird   geschrieben.[29]

Auf Grund der oben genannten Symmetrien gilt weiter:

 
 

Mit diesen Beziehungen können einige Additionstheoreme besonders einfach und elegant hergeleitet werden.

Sphärische TrigonometrieBearbeiten

Eine Formelsammlung für das rechtwinklige und das allgemeine Dreieck auf der Kugeloberfläche findet sich in einem eigenen Kapitel.

Literatur, WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Die Wurzel 2006/04+05, 104ff., ohne Beweis
  2. Joachim Mohr: Kosinus-, Sinus und Tangenswerte, abgerufen am 1. Juni 2016
  3. a b Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. vieweg 1983, Seite 87.
  4. I.N.Bronstein, K.A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage, 1979. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig. S. 237.
  5. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 22.3.15, (s. a. oben „Weblinks“)
  6. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.27, (s. a. oben „Weblinks“)
  7. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.29, (s. a. oben „Weblinks“)
  8. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products, Academic Press, 5th edition (1994). ISBN 0-12-294755-X 1.333.4
  9. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3 (Bei dieser Formel enthält Gradshteyn/Ryzhik allerdings einen Vorzeichenfehler)
  10. a b c d e f g h i j k l m n o I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig. 19. Auflage 1979. 2.5.2.1.3
  11. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.28, (s. a. oben „Weblinks“)
  12. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.30, (s. a. oben „Weblinks“)
  13. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.4
  14. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.335.5
  15. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.331.3
  16. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.1
  17. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.2
  18. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.3
  19. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.4
  20. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.321.5
  21. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.1
  22. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.2
  23. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.3
  24. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.4
  25. I. S. Gradshteyn and I. M. Ryzhik, ebenda 1.323.5
  26. Weisstein, Eric W.: Harmonic Addition Theorem. Abgerufen am 20. Januar 2018 (englisch).
  27. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.67, (s. a. oben „Weblinks“)
  28. Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, 4.3.70, (s. a. oben „Weblinks“)
  29. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, Birkhäuser Verlag, Basel 2006, 3. Auflage, S. 292 und 298