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Trigonometrischer Pythagoras

mathematischer Satz
Geometrische Veranschaulichung des „trigonometrischen Pythagoras“

Als „trigonometrischer Pythagoras“ wird die Identität

bezeichnet.[1][2] Hierbei steht für und für . Die Gültigkeit dieser Identität kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

HerleitungBearbeiten

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse   und den Katheten   und  

 

gilt. Wird der Winkel   im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass   seine Gegenkathete und   seine Ankathete ist, so gilt allgemein

 ,
 .

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz von Pythagoras ergibt dann

 ,
 .

Geometrische VeranschaulichungBearbeiten

In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis, das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Der Satz des Pythagoras gilt hier für einen beliebigen Wert des Winkels   im Einheitskreis und zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer, , ISBN 978-3-8348-1749-5, S. 251.
  2. Hans Kreul, Harald Ziebarth: Mathematik leicht gemacht. Harri Deutsch Verlag, August 2009, ISBN 978-3-8171-1836-6, S. 94.