Trigonometrischer Pythagoras

Geometrische Veranschaulichung des „trigonometrischen Pythagoras“

Als „trigonometrischer Pythagoras“ wird die Identität

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

bezeichnet. Hierbei steht $\sin ^{2}\alpha$ für $(\sin \alpha )^{2}$ und $\cos ^{2}\alpha$ für $(\cos \alpha )^{2}$. Die Gültigkeit dieser Identität kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

Herleitung

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse $c$ und den Katheten $a$ und $b$

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

gilt. Wird der Winkel $\alpha$ im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass $a$ seine Gegenkathete und $b$ seine Ankathete ist, so gilt allgemein

$a=\sin \alpha \cdot c$,

$b=\cos \alpha \cdot c$.

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz von Pythagoras ergibt dann

$(\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha )\cdot c^{2}=c^{2}$,

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$.

Geometrische Veranschaulichung

In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis, das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Der Satz des Pythagoras gilt hier für einen beliebigen Wert des Winkels $\alpha$ im Einheitskreis und zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.