Sechzehneck

Polygon mit 16 Ecken

Ein Sechzehneck oder Hexadekagon ist ein Polygon mit 16 Seiten und 16 Ecken. Die Sechzehnecke können wie alle Polygone mit mind. vier Seiten in überschlagene und nicht überschlagene (einfache) Sechzehnecke unterteilt werden. Die einfachen wiederum in konkave und konvexe Sechzehnecke. Letztere lassen sich nach weiteren Kriterien wie Seitenlängen, Symmetrien oder Lage der Ecken unterscheiden.

Ein regelmäßiges Sechzehneck

Dieser Artikel behandelt im Folgenden das regelmäßige Sechzehneck – das konvex ist, sechzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen – sowie regelmäßige überschlagene Sechzehnecke.

Regelmäßiges SechzehneckBearbeiten

Schon bei den griechischen Mathematikern der Antike war bekannt, dass ein regelmäßiges Sechzehneck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Dies wird deshalb möglich, weil es auch aus einem Quadrat bzw. Achteck durch (fortgesetzte) Verdoppelung der Eckenzahl generiert werden kann.

GrößenBearbeiten

Größen eines regelmäßigen Sechzehnecks
Innenwinkel  

 

Mittelpunktswinkel

(Zentriwinkel)

 
Seitenlänge  
Umkreisradius  
Inkreisradius  
Höhe  
Flächeninhalt  

Mathematische ZusammenhängeBearbeiten

InnenwinkelBearbeiten

Die allgemeine Formel für Polygone liefert

 

MittelpunktswinkelBearbeiten

Der Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel   wird von zwei benachbarten Umkreisradien   eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable   die Zahl   einzusetzen:

 

SeitenlängeBearbeiten

Für die Berechnung der Seitenlänge   denkt man sich das Sechzehneck in 16 kongruente Dreiecke (Bestimmungsdreiecke) zerlegt. Nimmt man die Hälfte eines solchen Dreiecks, also ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten  ,   und   sowie mit dem halben Zentriwinkel   so gilt

 

durch Multiplikation mit   erhält man

 

Algebraischer Ausdruck:

 

UmkreisradiusBearbeiten

Der Umkreisradius   bei gegebener Seitenlänge   beträgt

 

Algebraischer Ausdruck:

 

InkreisradiusBearbeiten

Auch der Inkreisradius   lässt sich mithilfe eines halbierten Bestimmungsdreiecks ermitteln. Es ergibt sich

 

durch Multiplikation mit   erhält man

 

und weiter

 

wegen

 

gilt auch

 

Algebraischer Ausdruck:

 

HöheBearbeiten

Die Höhe   eines regelmäßigen Sechzehnecks ist das Doppelte des Inkreisradius.

 

FlächeninhaltBearbeiten

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich aus   In einem Bestimmungsdreieck ist die Höhe   gleich dem Inkreisradius  . Der Flächeninhalt des gesamten Sechzehnecks, d. h. 16 Bestimmungsdreiecke, beträgt also

 

Mit dem in Inkreisradius hergeleiteten Ausdruck für   folgt daraus

 

Algebraischer Ausdruck:

 

Da die Anzahl der Seiten eines Sechzehnecks eine Zweierpotenz ist, kann die Fläche auch über den Umkreis mit dem Radius   durch eine abgeleitete Formel aus Vietas Produktdarstellung der Kreiszahl Pi berechnet werden:

 

Geometrische KonstruktionenBearbeiten

Bei gegebenem UmkreisBearbeiten

Im ersten Moment scheint es naheliegend, zuerst eine Seitenlänge des Achtecks mit dessen Umkreis zu zeichnen und anschließend den Mittelpunktswinkel   zu halbieren, um die Seitenlänge des Sechzehnecks zu erhalten. Es ist jedoch auch möglich den Mittelpunktswinkel in weniger Konstruktionsschritten zu bestimmen.

 
Bild 1: Sechzehneck bei gegebenem Umkreis
  • ES beginnt (Bild 1) mit dem Einzeichnen des Durchmessers   anschließend folgen um Punkt   und   je ein Kreisbogen mit Radius   die sich in   und   schneiden. Die Verbindungslinie   halbiert den Durchmesser   in   Nach dem Ziehen des Umkreises wird der so entstandene Schnittpunkt   mit   verbunden. Nun zieht man einen Kreisbogen um   mit dem Radius   der die Verbindungslinie   in   schneidet. Schließlich folgt eine Halbgerade ab dem Mittelpunkt   durch   bis sie den Umkreis im Eckpunkt   schneidet. Somit ist die erste Seite   des entstehenden Sechzehnecks gefunden. Nach dem Einzeichnen der restlichen fünfzehn Seiten ist das Sechzehneck fertiggestellt.
Der Mittelpunktswinkel   mit der Winkelweite   ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks  
 
 
daraus folgt
 
  • Eine alternative Konstruktion (Bild 2) halbiert den Umkreisradius und einen  -Winkel.
 
Bild 2: Alternative Konstruktion eines regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebenem Umkreis, Animation

Bei gegebener SeitenlängeBearbeiten

 
Bild 3: Sechzehneck bei gegebener Seitenlänge, siehe Animation

Die Konstruktion eines regelmäßigen Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge (Bild 3) ist sehr ähnlich der des Achtecks bei gegebener Seitenlänge.)

Zuerst bezeichnet man die Endpunkte der Seitenlänge   mit   und   Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius   um den Punkt   und ein zweiter mit gleichem Radius um  ; es ergeben sich die Schnittpunkte   und  . Es geht weiter mit der Halbgeraden ab   durch   und der Parallelen zu   ab dem Punkt  , die den Kreisbogen um   in   schneidet. Nun wird der Punkt   mit   verbunden; es entsteht der Schnittpunkt  . Anschließend halbiert eine Winkelhalbierende den Winkel  ; sie schneidet die Halbgerade   in  . Somit ist der Mittelpunkt   des entstehenden Sechzehnecks bestimmt. Den Mittelpunktswinkel   liefert die zweite Halbgerade ab   durch   Nach dem Einzeichnen des Umkreises um   und durch   ergeben sich die Ecken   und   des Sechzehnecks. Jetzt, die noch fehlende Seitenlängen   auf den Umkreis abtragen und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Sechzehneck miteinander verbinden.

Der Mittelpunktswinkel   mit der Winkelweite   ergibt sich mithilfe der Innenwinkel des gleichschenkligen Dreiecks  

 
 

daraus folgt

 

Regelmäßige überschlagene SechzehneckeBearbeiten

Ein regelmäßiges überschlagenes Sechzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der sechzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen  , wobei   die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder  -te Punkt verbunden wird.

Es gibt nur drei regelmäßige Sechzehnstrahlsterne, auch Hexadekagramme genannt.

Die „Sterne“ mit den Schläfli-Symbolen {16/2} und {16/14} sind regelmäßige Achtecke bzw. die mit den Schläfli-Symbolen {16/4} und {16/12} sind Quadrate. Die Sterne mit den Schläfli-Symbolen {16/6} und {16/10} sind Achtersterne, auch Oktogramme genannt.

VorkommenBearbeiten

KunstBearbeiten

 
Der sechzehneckige Turm in Raffaels Vermählung Mariä
 
Ein sechzehneckiges Kachelmuster der Alhambra,
im Zentrum der Stern {16/7}, {16/9}

Im Girih Kachelmuster in der Alhambra treten unter anderem auch sechzehneckige Symmetrien auf.

Im frühen 16. Jahrhundert war Raffael der erste Maler, der eine perspektivische Darstellung eines regelmäßigen sechzehneckigen Gebäudes darstellte und zwar in dem Bild Vermählung Mariä.[1]

ArchitekturBearbeiten

Sechzehneckig strukturierte Bauwerke sind z. B. das englische A La Ronde aus dem 18. Jahrhundert, der niederländische Leuchtturm Huisduinen des späten 19. Jahrhunderts und der ehemalige Panorama-Bau in Leipzig. Ebenso weisen sakrale Zentralbauten, wie insbesondere die Kuppel des Petersdoms in Rom, der Aachener Dom in der geometrischen Konzeption seines karolingischen Oktogons zusammen mit dem dieses umgebenden Umgang sowie die sechzehneckige Kapelle im Inneren des Magdeburger Doms[2], eine solche Struktur auf.

WeblinksBearbeiten

Commons: Sechzehnecke – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Veröffentlicht in Nexus III: Architecture and Mathematics, Kim Williams (Hrsg.): Ospedaletto, Pisa: Pacini Editore, 2000, S. 147–156.
  2. ottostadt magdeburg: Die sechzehneckige Kapelle. Otto der Große im Magdeburger Dom. Tourist Information Magdeburg, 12. September 2019, abgerufen am 23. September 2019.