Diskussion:Reiner und gemischter Zustand

Verbindung zum Rest der Welt

Als Leser dieses Artikel stellen sich mir unwillkürlich folgende Fragen:

• Was ist ein Zustand? Da bedarf es eines gescheiten Links.
• Was ist das Reine an diesem Zustand? Mathematisch gehört eine irreduzible Darstellung dazu. Zumindest die Rolle in einem quantemechanischen System sollte erläutert werden.
• Welche physikalische Bedeutung steckt dahinter?

Dadurch würde dieser Artikel eine engere Bindung an den Rest der Welt erfahren. Das wünsche ich mir. --FerdiBf 16:46, 16. Sep. 2008 (CEST)

Gemischter Zustand

Die Aussage " ein Zustandsgemisch, bei dem sich das System mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten p_i(0≤p_i≤1) in einem der reinen Zustände |ψ_i⟩ befindet," ist unpräzise. Sind die |ψi⟩ nicht orthogonal (Beispiel: Dichtematrix#Gemisch verschiedener Polarisationsrichtungen) dann kann man sich das Gemisch zwar mit Gewichten p_i aus reinen |ψ_i⟩-Anteilen zusammengemischt vorstellen, aber die Messung der Wahrscheinlichkeit eines |ψ_i⟩-Anteils würde nicht mit p_i übereinstimmen. Ich hab es präzisiert. --jbn (Diskussion) 12:50, 2. Apr. 2013 (CEST)

hi, also der nolting sagt, dass die Zustände nicht unbedingt orthogonal sein müssen und die Annahme von Orthogonalität "bequem, aber nicht notwendig" ist: Auf dieser Seite unten [1]. Und hier rechnet er s vor: [2] LG --biggerj1 (Diskussion) 18:25, 2. Apr. 2013 (CEST)

Mach Dir mal ein 50:50 Gemisch aus zwei nicht orthogonalen Zuständen und rechne aus, was bei einer Messung herauskommt, die das Gewicht liefern soll, mit dem der erste dieser beiden Zustände vorkommt. Da kommt mehr als 50% heraus (beim zweiten auch). (Rechnung wie bei bei Nolting S. 104/105 mit dem Operator ${\hat {F}}=|\psi _{1}><\psi _{1}|$). Das ist eigentlich von vornherein klar, denn wenn $|\psi _{1}>,\psi _{2}>$ nicht orthogonal, dann $<\psi _{1}|\psi _{2}>\neq 0$. Der unscharfe Punkt liegt in der Formulierung "im Zustand befindet" (s.o., lies nochmal): Das kann sich auf die Gewichte p_i bei Präparation eines Gemischs oder auf die Messung danach beziehen. Diese p_i stimmen dann nicht überein, wenn die reinen Zustände zu verschiedenen i nicht orthogonal sind. - Noltings Text und Aufgabe (S. 456/7) behauptet das übrigens auch gar nicht, worauf ich herumhacke. --jbn (Diskussion) 22:22, 2. Apr. 2013 (CEST)

Ah, ich hab s jetzt nochmal allgemein gerechnet und schreib dir mal meine Rechnung hin. Jetzt bin ich doch wieder der ansicht, dass eine Normierung reicht. Aber bitte geh mal kritisch drüber - nicht, dass ich mit der Form des Hamiltonoperators schon versteckt Orthogonalität reinstecke...--biggerj1 (Diskussion) 13:09, 6. Apr. 2013 (CEST)

Rechnung

Sei $\{|\alpha \rangle \}$ ein vollständiges normiertes System von Eigenzuständen des Hamiltonoperators und seien die Zustände nicht unbedingt orthogonal. Im folgenden seien die Zustände immer aus dieser Menge. Dann ist $\sum _{n}|n\rangle \langle n|E_{n}$ der Hamiltonoperator, ${\hat {\rho }}=\sum _{m}p_{m}|m\rangle \langle m|$ der Dichteoperator, ${\hat {H}}|\nu \rangle =E_{\nu }|\nu \rangle$ die Eigenwertgleichung des Hamiltonoperators. Der Erwartungswert des Hamiltonoperators ist nun:

$Sp({\hat {\rho }}{\hat {H}})=\sum _{\alpha }\langle \alpha |\sum _{m}p_{m}|m\rangle \langle m|E_{\alpha }|\alpha \rangle$

$=\sum _{m}p_{m}\sum _{\alpha }\langle \alpha |m\rangle \langle m|\alpha \rangle E_{\alpha }$

(vertausche nur Zahlen)

$=\sum _{m}p_{m}\langle m|\sum _{\alpha }E_{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha ||m\rangle$

$=\sum _{m}p_{m}\langle m|{\hat {H}}|m\rangle =\sum _{m}p_{m}E_{m}\langle m|m\rangle =\sum _{m}p_{m}E_{m}$

Schnell eine Antwort (vielleicht hab ich noch was übersehen): Du rechnest den Erwartungswert der Energie aus, nicht den Anteil, mit dem ein Zustand im Gemisch anzufinden ist. - Orthogonaliät reingesteckt? Ich glaube nicht. H-Eigenzustände zu verschiedener Energie sind zwar automatisch orthogonal, aber Du schließt wohl an keiner Stelle den Fall der Entartung aus. - Daher hast Du mit Deiner Rechnung recht, ich aber mit meiner anders gelagerten Aussage auch.--jbn (Diskussion) 18:42, 6. Apr. 2013 (CEST)

Wie berechne ich den Anteil mit dem ein Zustand im Gemisch anzufinden ist? So $<n|{\hat {\rho }}|n>=\sum _{m}p_{m}|<m|n>|^{2}=w_{n}$? Du hast recht - der Zustand wird mit w_n gewichtet . Aber die Erwartungswerte werden mit p_m gewichtet. Wie ich gerade sehe, hast du das bereits in deinem aller ersten Post geschrieben. Danke, dass du so geduldig mit mir warst!!! PS: Stimmt Entartung wird natürlich nicht ausgeschlossen. ich kann einen hermiteschen Hamiltonoperator immer durch eine hermitesche Matrix darstellen und diese dann diagonalisieren--biggerj1 (Diskussion) 18:54, 6. Apr. 2013 (CEST)

Damit man das für einen beliebigen Operator O sehen kann (der ev. eine andere Eigenbasis hat als der Hamiltonoperator), muss man die Eigenvektoren des Hamiltonoperators in der Eigenbasis von O projezieren (d.h. man schiebt einen geschichten Einheitsoperator ein). Kurze Skizze: Bezeichne dazu im folgenden die Eigenvektoren von O mit $\gamma$: ${\hat {O}}|\alpha \rangle =\sum _{\gamma }O_{\gamma }\langle \gamma |\alpha \rangle |\gamma \rangle$. Dann kann man oben bei $=\sum _{m}p_{m}\langle m|\sum _{\alpha }E_{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha ||m\rangle$ statt $E_{\alpha }|\alpha \rangle$ (zu einem analogen Zwischenergebnis kommt man, wenn man $Sp({\hat {\rho }}{\hat {O}})$ ausrechnet und dabei der Einfachheit halber ${\hat {O}}|\alpha \rangle =|q_{\alpha }>$ substituiert) den Ausdruck ${\hat {O}}|\alpha \rangle$ einsetzen und sehen, dass das $\sum _{m}p_{m}\langle m|{\hat {O}}|m\rangle$ rauskommt.--biggerj1 (Diskussion) 10:26, 31. Jul. 2013 (CEST)

Vorschlag

Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein Zustandsgemisch, bei dem sich das System mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten in einem der reinen Zustände befindet. (Das ist nicht das Erkennungszeichen für Gemisch, denn das ergibt sich auch schon, wenn man einen reinen Zustand nach einer anderen Basis entwickelt. Z.B. wenn man in einem reinen Energieeigenzustand nach Ortseigenzuständen guckt.) Für jede der Wahrscheinlichkeiten gilt, dass sie im Intervall von Null bis eins liegen muss und ihre Summe Eins ergibt.

Sind die reinen Zustände orthogonal zueinander und befindet sich das System mit den Wahrscheinlichkeiten $p_{i}$ in den reinen Zuständen $|\psi _{i}\rangle$, so ist der Dichteoperator:

${\hat {\rho }}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\ .$

Sind die reinen Zustände $|\psi _{i}\rangle$ nicht orthogonal zueinander, so wird durch die obige Gleichung immernoch ein gültiger Dichteoperator erzeugt. Durch den Dichteoperator werden die Erwartungswerte eines Operators in den einzelnen reinen Zuständen $|\psi _{i}\rangle$ mit den Gewichten $p_{i}$ gewichtet. das ist ungenau: es gibt die "Erwartungswerte eines Operators", aber was genau ist "Erwartungswerte der einzelnen reinen Zustände"?Antwort: habe "Operator" eingefügt. Die Rechnung dazu siehst du oben beim Erwartungswert des Hamiltonoperators: Der Erwartungswert des Hamiltonoperators setzt sich aus den mit p_m gewichteten Erwartungswerten des Hamiltonoperators in den einzelnen Zuständen {|m>} zusammen $<{\hat {H}}>=\sum _{m}p_{m}E_{m}$ Allerdings ist die Aussage, dass sich das System dann mit der Wahrscheinlichkeit $p_{i}$ im Zustand $|\psi _{i}\rangle$ befindet falsch, denn der Anteil den der Zustand $|\psi _{\alpha }\rangle$ am Gemisch hat, berechnet sich über $|\langle \psi _{\alpha }|{\hat {\rho }}|\psi _{\alpha }\rangle =\sum _{i}p_{i}|\langle \psi _{\alpha }|\psi _{i}\rangle |^{2}\neq p_{\alpha }.$

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Kritik habe ich oben klein eingefügt. Mein Gegenvorschlag:

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Das Gegenstück zu einem reinen Zustand ist ein Zustandsgemisch. Ein Zustandsgemisch liegt vor, wenn es keinen einzelnen reinen Zustand gibt, in dem sich mit Wahrscheinlichkeit 1 das System befindet. Diese häufige Situation entsteht z. B., wenn man das System wiederholte Male präpariert und dabei mit Wahrscheinlichkeiten $p_{i}$ einen der reinen Zustände $|\psi _{i}\rangle$ erzeugt.<ref>Für jede der Wahrscheinlichkeiten gilt, dass sie im Intervall von Null bis Eins liegen muss und die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten Eins ergibt.</ref> Die Zustände $|\psi _{i}\rangle$ müssen dabei nicht orthogonal zueinander sein. Dann ist der Dichteoperator:

${\hat {\rho }}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\ .$

Sind die reinen Zustände $|\psi _{i}\rangle$ orthogonal zueinander, dann gibt das Gewicht $p_{i}$ die Wahrscheinlichkeit dafür an, das System im reinen Zustand $|\psi _{i}\rangle$ zu finden. Sind sie nicht orthogonal, gilt das nicht, denn der Anteil den ein beliebiger Zustand $|\psi _{\alpha }\rangle$ am Gemisch hat, berechnet sich über $|\langle \psi _{\alpha }|{\hat {\rho }}|\psi _{\alpha }\rangle =\sum _{i}p_{i}|\langle \psi _{\alpha }|\psi _{i}\rangle |^{2}\neq p_{\alpha }.$

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Verständlich? Lesbar? Richtig?--jbn (Diskussion) 22:57, 6. Apr. 2013 (CEST)

Ich habe in deinem Vorschlag noch die Fußnote rein. Ich finde auch sowas sollte explizit gesagt werden und nicht immer implizit vorausgesetzt werden (obwohl es irgendwann selbstverständlich wird). Also ich finde deinen Vorschlag auch gut - bitte baue ihn ein :) Vielleicht kannst du dir trotzdem meine Antwort auf den 2ten Einwand von dir zu meinem Vorschlag anschauen, wenn die Antwort gültig ist, sollte das imho auch noch rein. --biggerj1 (Diskussion) 11:08, 7. Apr. 2013 (CEST)

Ich habs jetzt alles im Artikel übernommen (den Fehler mit den Betragsstrichen behoben). Lies mal drüber!--jbn (Diskussion) 12:09, 7. Apr. 2013 (CEST)

Sieht jetzt doch gut aus. Danke--biggerj1 (Diskussion) 13:16, 7. Apr. 2013 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --biggerj1 (Diskussion) 09:44, 2. Nov. 2013 (CET)

Wann sind Zustandsgemische gleich?

Als ich gestern einiges neu formuliert habe, musste ich einen Punkt offen lassen, der mir eigentlich wichtig ist (ich habe leider keinen Zugriff auf Literatur): Nennt man Zustandsgemische (lieber wäre mir, falls gebräuchlich, das Wort Mischzustände) gleich, wenn die Rezeptur die gleiche ist, oder nur, wenn man sie durch Messungen unterscheiden kann? Ich würde gern das Zweite schreiben: „Verschiedene Mischungen können den gleichen Mischzustand ergeben.“ und dann vielleicht weiter: „Verschieden zusammengesetzte Mischungen ergeben genau dann den gleichen Mischzustand, wenn die dazu gebildeten Dichteoperatoren gleich sind.“ Im Artikel kommt das nicht zum Ausdruck. Da steht ja dann z.B., dass verschiedene Mischungen die gleiche Dichtematrix ergeben können. Ich habe erst mal nichts geändert. Aber für mich sind Zustände nur dann verschieden, wenn sie sich physikalisch unterscheiden. Wie spricht die Literatur?– Binse (Diskussion) 17:40, 30. Apr. 2020 (CEST)