Vollständig positive Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um positive, lineare Operatoren zwischen C*-Algebren, bei denen die Fortsetzungen auf die Matrixalgebren ebenfalls positiv sind.

Definitionen

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Eine stetige, lineare Abbildung   zwischen zwei C*-Algebren   und   heißt positiv, falls   positive Elemente auf positive Elemente abbildet, das heißt, falls   für jedes   die Form   für ein   hat.

Für   sei   die C*-Algebra der  -Matrizen über  . Diese ist isomorph zum Tensorprodukt aus   und der C*-Algebra   der komplexen  -Matrizen. Die Abbildung   definiert Abbildungen

 .

  heißt  -positiv, falls   positiv ist.   heißt vollständig positiv, falls    -positiv ist für alle  .

Beispiele

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Jeder positive, lineare Operator auf einer kommutativen C*-Algebra ist vollständig positiv.[1]

Jeder Zustand auf einer C*-Algebra ist vollständig positiv. Allgemeiner ist jeder positive Operator von einer C*-Algebra in eine kommutative C*-Algebra vollständig positiv.[2]

Alle *-Homomorphismen sind vollständig positiv. Ist allgemeiner   ein *-Homomorphismus und  , so definiert   einen vollständig positiven Operator. Nach dem Satz von Stinespring gilt für vollständig positive Operatoren mit Norm kleiner gleich 1 die Umkehrung.

Die Transposition   auf der C*-Algebra   ist ein positiver Operator, der nicht vollständig positiv ist. Beispielsweise ist

 

ein positives Element, aber

 

ist nicht positiv, denn die Determinante ist gleich −1. Daher ist   nicht 2-positiv.

Eigenschaften und Anwendungen

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Kadison-Schwarz-Ungleichung

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Es sei   eine 2-positive, lineare Abbildung zwischen C*-Algebren mit Einselement und es sei  . Dann gilt die schwarzsche Ungleichung[3]

  für alle  .

Allgemeiner gilt für eine vollständig positive Abbildung

  für alle  ,

was auch als Kadison-Schwarz-Ungleichung bekannt ist.[4] Ist   nur positiv, so gilt obige Ungleichung nur für normale Elemente.

Nukleare C*-Algebren

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Nukleare C*-Algebren lassen sich wie folgt mittels vollständig positiver Operatoren charakterisieren: Eine C*-Algebra   ist genau dann nuklear, wenn die Identität   punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz   vollständig positiver Operatoren mit   und   für alle   und   für alle  .[5]

Liftungssatz von Choi-Effros

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Es gilt folgende auch als Liftungssatz von Choi-Effros bekannte Aussage: Sei   eine nukleare C*-Algebra und   ein vollständig positiver Operator mit   in die Quotientenalgebra der C*-Algebra   nach dem abgeschlossenen, zweiseitigen Ideal  . Dann gibt es einen vollständig positiven Operator   mit   und  , wobei   die Quotientenabbildung sei.[6]

Einzelnachweise

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  1. K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Satz IX.4.1
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Aufgabe 11.5.21
  3. Vern I. Paulsen: Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press (2013), ISBN 0-521-81669-6, Satz 3.3
  4. Alexander S. Holevo: Statistical Structure of Quantum Theory, Springer-Verlag 2001, ISBN 3-540-42082-7, Abschnitt 3.1.1: Completely positive Maps
  5. B. Blackadar: K-Theory for Operator-Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.1
  6. M.-D. Choi, E. Effros: The completely positive lifting problem for C*-algebras, Annals of Math. (1976), Band 104, Seiten 585–609