Doppelt-stochastische Matrix

In der Mathematik bezeichnet eine doppelt-stochastische Matrix (manchmal auch doppelt-stochastische Übergangsmatrix) eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltensummen betragen und deren Elemente zwischen und liegen.

CharakterisierungenBearbeiten

Die folgenden Charakterisierungen doppelt-stochastischer Matrizen sind äquivalent:

  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen eins betragen und alle Elemente der Matrix zwischen   und   liegen.
  • Eine Matrix   ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn sowohl   als auch die transponierte Matrix   Übergangsmatrizen sind.
  • Eine Matrix ist doppelt-stochastisch genau dann, wenn Zeilen- und Spaltensummen   betragen und alle Elemente der Matrix nicht negativ sind.

Eigenwerte und EigenvektorenBearbeiten

Wie alle Übergangsmatrizen besitzen auch doppelt-stochastische Matrizen als betragsgrößten Eigenwert den Eigenwert  . Da jede doppelt-stochastische Matrix sowohl zeilen- als auch spaltenstochastisch ist, ist der Einsvektor   (welcher nur Einsen als Einträge hat) sowohl Links- als auch Rechtseigenvektor jeder doppelt-stochastischen Matrix. Ist nun die Matrix   doppelt-stochastisch und noch zusätzlich entweder irreduzibel oder echt positiv (vgl. Satz von Perron-Frobenius), so ist die einzige stationäre Verteilung der Markow-Kette, die durch   charakterisiert wird, die Gleichverteilung, also der Wahrscheinlichkeitsvektor  .

Satz von Birkhoff und von NeumannBearbeiten

Für eine  -Matrix gilt, dass sie genau dann doppelt-stochastisch ist, wenn sie eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen ist.

Zusatz: Die Permutationsmatrizen sind die Extremalpunkte der Menge der doppelt-stochastischen Matrizen.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten