Minkowski-Ungleichung

mathematischer Satz

Die Minkowski-Ungleichung, auch als Minkowski'sche Ungleichung oder Ungleichung von Minkowski bezeichnet, ist eine Ungleichung im Grenzgebiet zwischen der Maßtheorie und der Funktionalanalysis, zwei Teilbereichen der Mathematik. Sie wird in unterschiedlichen Versionen formuliert, meist für den Folgenraum sowie die Lebesgue-Räume und . In diesen Räumen entspricht sie der Dreiecksungleichung und macht diese somit zu normierten Räumen (im Falle von zu einem halbnormierten Raum).

Sie ist nach Hermann Minkowski benannt, der die Ungleichung für unendliche Summen erstmals 1896 im ersten Band seiner Geometrie der Zahlen zeigte.[1]

Formulierung für Lp-RäumeBearbeiten

Sei   und   der entsprechende Lp-Raum. Es sei   die entsprechende  -Norm. Für ein   ist also

 .

Hierbei bezeichnet   das wesentliche Supremum. Die Minkowski-Ungleichung besagt dann:[2]

Ist   und  , so gilt
 .

Die Ungleichung gilt auch in   (siehe Lp-Raum#Definition). Die  -(Halb-)Norm wird identisch wie die  -Norm definiert, aber mit   bezeichnet. Die Minkowski-Ungleichung besagt dann:[3]

Ist   und  , so gilt
 .

Formulierung für messbare FunktionenBearbeiten

Die Minkowski-Ungleichung lässt sich auch etwas allgemeiner für messbare Funktionen formulieren. Mit den Vereinbarungen   für   definiert man

 ,

wobei   eine messbare Funktion von dem Maßraum   nach   ist. Hierbei ist   oder  . Dann lautet die Minkowski-Ungleichung:[1]

Sind die Funktionen   von   nach   beide messbar, so gilt
 .

Formulierung für FolgenBearbeiten

Die Minkowski-Ungleichung gilt auch für Folgen in   oder in  , unabhängig davon, ob die Folgen konvergieren. Sie lautet dann

 

für  .[1]

Beschränkt man sich auf den passenden Folgenraum   mit der Norm

 ,

so lautet die Minkowski-Ungleichung

 .

für Folgen   aus  . Dies kann als Sonderfall der Ungleichung für den   angesehen werden, wenn man als Grundmenge die natürlichen Zahlen wählt und als Maß das Zählmaß.

BeweisBearbeiten

Die Minkowski-Ungleichung ist für   und   trivial. Es sei daher  . Da   eine konvexe Funktion ist, gilt

 

und daher  .

Sei im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit  . Es gilt:

 

Sei  . Dann ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent, es gilt:  

Nach der Hölder-Ungleichung gilt:

 

Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit  .

Verallgemeinerung (Minkowski-Ungleichung für Integrale)Bearbeiten

Seien   und   zwei Maßräume und   eine messbare Funktion, dann gilt (Minkowski-Ungleichung für Integrale):

 

für  . Ist   und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich   als Produkt   zweier messbarer Funktionen   und   schreiben lässt.

Wählen wir   als die zwei-elementige Menge   mit dem zählenden Maß, so erhalten wir als Spezialfall wieder die übliche Minkowski-Ungleichung, mit   für   ist nämlich

 

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001, ISBN 3-7643-6613-3

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b c Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 224–226, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  2. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 57, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
  3. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 154, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.