Satz vom regulären Wert

Der Satz vom regulären Wert ist ein Resultat aus der Differentialtopologie. Auf Englisch heißt dieser Satz Submersion Theorem. Mit Hilfe des Satzes ist es möglich, konstruktiv Untermannigfaltigkeiten zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit zu finden.

SatzBearbeiten

Es seien   und   differenzierbare Mannigfaltigkeiten und es sei   eine differenzierbare Abbildung. Außerdem sei   ein regulärer Wert von  . Dann ist die Menge

 

eine abgeschlossene, differenzierbare Untermannigfaltigkeit von  . Für den Tangentialraum gilt dann

 

wobei   das Differential von   im Punkt   bezeichne.

Falls   endlichdimensional ist, so gilt für die Kodimension von  

 .

Dies folgt aus der Aussage über den Tangentialraum. Falls   noch zusätzlich endlichdimensional ist, kann man die Dimension von   mit Hilfe der Formel

 

berechnen.

BeispielBearbeiten

Mit Hilfe des Satzes kann man zeigen, dass die  -dimensionale Einheitssphäre   eine Untermannigfaltigkeit des   ist. Es sei

  definiert durch  .

Dann gilt  . Es muss nur noch gezeigt werden, dass 1 ein regulärer Wert ist. Dies sieht man durch

 .

Der Operator   steht für die Matrixtransposition. Nur für   wird der Term   null. Für alle anderen   gilt für den Rang

 .

Also ist insbesondere das Differential für   surjektiv und damit ist   eine reelle Untermannigfaltigkeit.

LiteraturBearbeiten

  • Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3. überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7, S. 118f.
  • R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications (= Applied Mathematical Sciences 75). Springer, New York NY 1988, ISBN 0-387-96790-7.