Helmholtz-Gleichung

spezielle partielle Differentialgleichung

Die Helmholtz-Gleichung (nach Hermann von Helmholtz)[1] ist eine partielle Differentialgleichung. Sie lautet:

in einem Gebiet mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand . Dabei ist der Laplace-Operator, die Lösungsfunktion (Eigenfunktion) und der Eigenwert. Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem. In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehörigen Eigenfunktionen gelöst. Im Spezialfall kartesischer Koordinaten mit dem Index und der Anzahl der (räumlichen) Dimensionen besitzt der Laplace-Operator die Gestalt

.

Die Helmholtz-Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung (PDGL) zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL. Sie ergibt sich auch z. B. aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen und Annahme harmonischer Zeitabhängigkeit. Im eindimensionalen Fall ist die Gleichung vom Typ einer gewöhnlichen Differentialgleichung.

In Fall reduziert sich die Gleichung zur Laplace-Gleichung. Wird die rechte Seite der Gleichung durch eine Funktion ersetzt, so wird die resultierende Gleichung, eine Poisson-Gleichung, inhomogen.

Beispiel: Partikuläre Lösung der inhomogenen MaxwellgleichungenBearbeiten

Eine Anwendung aus der Physik ist z. B. die Lösung der inhomogenen Maxwellgleichungen (Maxwellgleichungen mit Strömen und Ladungen). Aus diesen folgen in Gaußschen Einheiten mit der Lorenz-Eichung

 

die inhomogenen Wellengleichungen für das elektrische Skalarpotential   sowie für das magnetische Vektorpotential  :

 
 

(hier für die einzelnen Komponenten mit:  )

Exemplarisch wird nun die Lösung für   durchgeführt, die Herleitung für   geht analog.

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichungen ist die Linearkombination der allgemeinen Lösung der dazugehörigen homogenen DGL sowie einer partikulären Lösung der inhomogenen DGL:

 

Die Lösung der homogenen DGL sind die elektromagnetischen Wellen; wir beschränken uns hier auf die Herleitung einer partikulären Lösung.

Um die Wellengleichung auf die Helmholtz-Gleichung zurückzuführen, betrachten wir die Fourier-Transformation von   und   bezüglich  :

 
 

Einsetzen in die Wellengleichung liefert:

 
 
 

Beide Integranden müssen gleich sein, da die Fourier-Transformation bijektiv ist:

 

Für die homogene Wellengleichung   erkennen wir mit   die Helmholtz-Gleichung wieder.

Zur Lösung der inhomogenen Gleichung   kann eine Greensche Funktion   verwendet werden, welche die Gleichung

 

erfüllt.

Diese lautet:

 

Physikalisch beschreibt diese Funktion eine Kugelwelle.

Damit erhalten wir für die gesamte Ladungsverteilung:

 

Dieses Ergebnis setzen wir in die Fourierdarstellung von   ein und erhalten

 

Mit   folgt:

 
 

Dies ist die gesuchte partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung. Für   folgt analog:

 
 

Die physikalische Bedeutung ist, dass das zur Zeit   am Ort   beobachtete Potential von Ladungen bzw. Strömen zur Zeit   am Ort   verursacht wurde.

Diskussion: Retardierte und avancierte LösungBearbeiten

Noch steht das Vorzeichen im Argument   nicht fest. Physikalisch scheint aber plausibel, dass die zeitliche Änderung einer Ladungsverteilung bei   erst zu einem späteren Zeitpunkt bei   beobachtet werden kann, da sich elektromagnetische Wellen mit der (konstanten) Lichtgeschwindigkeit   ausbreiten. Daher wählen wir das Minuszeichen als physikalisch praktikable Lösung:

 

Man nennt das Potential bei Wahl des Minuszeichens auch retardiertes Potential. Wählt man das Pluszeichen, so spricht man vom avancierten Potential.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik I (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band XII). Julius Springer, Berlin 1924 (450 S., online). Siehe Kapitel V Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik ab S. 221. Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u. a. im Abschnitt § 7 dieses Kapitels unter der Überschrift Die schwingende Membran ab S. 245 behandelt. Der Name Helmholtz-Gleichung tritt nicht auf.
  • Richard Courant, David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik II (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band XLVIII). Julius Springer, Berlin 1937 (549 S., online). In diesem Band werden praktische Lösungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erläutert. Insbesondere sei auf das Kapitel VII Lösungen der Rand- und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung ab S. 471 verwiesen.

WeblinksBearbeiten

AnmerkungBearbeiten

  1. In der mathematischen Physik wird der Name Helmholtz-Gleichung sehr selten verwendet. Auch ist keine Arbeit von Helmholtz bekannt, die diese Namensgebung rechtfertigen würde.