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Der Separationsansatz oder Produktansatz dient der Lösung partieller Differentialgleichungen mit mehreren Variablen.

AllgemeinesBearbeiten

Man nimmt an, dass sich die Lösung durch ein Produkt der Form:

 

darstellen lässt. Durch Ableiten und Einsetzen der separierten Funktionen   und   in die Ausgangsfunktion erhält man einen Ausdruck

 

Diese Gleichung lässt sich in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen überführen, die mit Hilfe der Randbedingungen lösbar sind. Die gefundene Lösung muss nicht die einzige Lösung der Ausgangsfunktion sein.

BeispielBearbeiten

Zu lösen sei die eindimensionale Wellengleichung

 .

Der Separationsansatz mit  :

 

führt auf

 

Nun folgt die „Separation der Variablen“ mit Division durch   mit der Annahme   im Inneren der Fläche.

 

Vereinfachung der Notation   und   ergibt

 

Die Gleichung kann nur erfüllt sein, wenn beide Seiten der Gleichung konstant sind, da sie von verschiedenen Variablen abhängen. Also

 

Dies führt auf die folgenden gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung

 
 

Die nun lösbar sind in Abhängigkeit vom Parameter   und den Randbedingungen, das Einsetzen der einzelnen Lösungen in   ergibt die Lösung der partiellen Differentialgleichung.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten