Trennung der Veränderlichen

Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen

Die Methode der Trennung der Veränderlichen, Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Mit ihr lassen sich separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen. Das sind Differentialgleichungen, bei denen die erste Ableitung ein Produkt aus einer nur von und einer nur von abhängigen Funktion ist: Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann I Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.[1]

Proportionale Differentialgleichung lösen durch Trennung der Variablen
Lineare Differentialgleichung lösen durch Trennung der Variablen

Ein ähnliches Verfahren für bestimmte partielle Differentialgleichungen ist der Separationsansatz.

Lösung des AnfangswertproblemsBearbeiten

Wir untersuchen das Anfangswertproblem

 

für stetige (reelle) Funktionen   und  . Falls  , so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion   gelöst. Diese Lösung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein.

Formulierung des SatzesBearbeiten

VoraussetzungenBearbeiten

  sei ein Intervall,   und   eine stetige Funktion mit   für alle  . Dann gilt nach dem Zwischenwertsatz entweder   für alle  , oder   für alle  . Also ist die Funktion

 

streng monoton (das folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und dem Mittelwertsatz). Das heißt,   ist injektiv und es gibt die Umkehrfunktion  .
Ferner sei   ein offenes Intervall,   und   eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion

 

wohldefiniert und differenzierbar.

Der SatzBearbeiten

Unter den oben genannten Voraussetzungen sind folgende zwei Aussagen äquivalent:

  • Es gibt eine Funktion   von   in   mit   und  .
  •  .

Gilt eine der beiden Aussagen, dann hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung, nämlich die Funktion  .

Die Lösung   des Anfangswertproblems ist in diesem Fall also die Lösung der Gleichung

 .

Man beachte, dass im Fall der konkreten Gestalt der getrennten Veränderlichen tatsächlich lokale Eindeutigkeit bei   vorliegt, obwohl   und   keine lokale Lipschitz-Bedingung zu erfüllen brauchen.

BeweisBearbeiten

Wir beginnen mit dem Beweis der Eindeutigkeit: Angenommen,   ist eine Lösung des Anfangswertproblems, dann gilt nach der Substitutions-Regel

 

für alle   und damit  .

Nun bleibt zu zeigen, dass für den Fall   die Funktion   eine Lösung des Anfangswertproblems ist:

Nach der Kettenregel, der Umkehrregel und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt

 

für alle  . Natürlich ist  .

BemerkungBearbeiten

  und   seien Teilmengen der reellen Zahlen,   und   stetige Funktionen,   sei ein innerer Punkt von  ,   ein innerer Punkt von   und  . Dann gilt:

Ist    , dann gibt es wegen der Stetigkeit von   ein   umfassendes offenes Intervall   mit     für alle  . Weil   auf   stetig ist, ist   nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall und es gilt  . Deswegen gibt es ein   umfassendes offenes Intervall  , sodass die Abbildung

 

für alle   Werte in   hat. Das heißt, die Restriktionen   und   erfüllen die Bedingungen des oben formulierten Satzes.

BeispielBearbeiten

Gesucht sei die Lösung   des Anfangswertproblems

 .

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:

 .

Setze also

 .

Die Umkehrfunktion lautet

 .

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch

 .

Differentiale als anschauliche RechenhilfeBearbeiten

Anschaulich besagt der Satz von der Trennung der Veränderlichen, dass das folgende Vorgehen erlaubt ist, d. h. zu richtigen Ergebnissen führt (obwohl die Differentiale   und   eigentlich nur Symbole sind, mit denen man streng genommen nicht rechnen kann):

  • Schreibe die Ableitung konsequent als  .
  • Bringe alle Terme, in denen ein   vorkommt – einschließlich des   – auf die rechte, und alle anderen – einschließlich des   – auf die linke Seite, unter Anwendung gewöhnlicher Bruchrechnung.
  • Es sollte dann links im Zähler ein   und rechts im Zähler ein   stehen.
  • Setze einfach vor beide Seiten ein Integralsymbol und integriere.
  • Löse die Gleichung gegebenenfalls nach   auf.
  • Ermittle die Integrationskonstante   mithilfe der Anfangsbedingung.

Die Rechnung für das obige Beispiel würde dann auf folgende Weise ablaufen:

 

mit  , also  .

SoftwareBearbeiten

Die CAS-Software Xcas can Trennung der Veränderlichen mit diesem Befehl[2] machen: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen.4. überarbeitete Auflage. Springer, 1990, ISBN 3-540-52017-1, S. 13–20
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. 9. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-498-4, S. 316–333
  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 6. aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, S. 102-122

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-12227-8, S. 128
  2. Symbolic algebra and Mathematics withXcas. Abgerufen am 21. Januar 2021.