Biharmonische Funktion

Eine mathematische Funktion $u(x,y)$ heißt biharmonisch in einem Gebiet $D$, falls sie die biharmonische Gleichung

$\Delta \Delta u(x,y)=0$

für alle Punkte $(x,y)\in D$ erfüllt; $\Delta$ ist hierbei der Laplace-Operator und somit $\Delta \Delta$ der biharmonische Operator.

Die biharmonische Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung vierter Ordnung von $u(x,y)$.

In der Praxis tritt diese Gleichung z. B. in der Kontinuumsmechanik bei Platten auf. Die Verformung $u(x,y)$ einer Platte in einem Punkt $(x,y)$ gehorcht in erster Näherung der inhomogenen biharmonischen Gleichung:

$\Delta \Delta u(x,y)=f(x,y)$

Hier ist $f(x,y)$ die Kraft(dichte), die auf die Platte ausgeübt wird.

Harmonische Funktionen sind auch immer biharmonische Funktionen; die Umkehrung muss aber nicht gelten.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Biharmonic Equation. In: MathWorld (englisch).