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Die Fréchet-Ableitung (nach Maurice René Fréchet) verallgemeinert den Begriff der Ableitung aus der üblichen Differentialrechnung im auf normierte Räume. Bei Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen ergibt sich aus diesem Differenzierbarkeitsbegriff der übliche Begriff der totalen Differenzierbarkeit.

DefinitionBearbeiten

 
Beziehung der drei Abbildungen

Es seien   und   zwei normierte Räume und   eine offene Teilmenge. Ein Operator   heißt Fréchet-differenzierbar an der Stelle  , wenn es einen beschränkten linearen Operator   derart gibt, dass

 

gilt. Der Operator   heißt Fréchet-Ableitung von   an der Stelle  . Existiert die Fréchet-Ableitung für alle  , dann heißt die Abbildung   mit   die Fréchet-Ableitung von   auf  . Mit   wird der Raum der stetigen linearen Abbildungen von   nach   bezeichnet.

Äquivalente DefinitionBearbeiten

Eine äquivalente Definition ist:

Zu jedem   gibt es ein   so, dass

 

für alle   mit  . Dies lässt sich auch kurz mit Hilfe der Landau-Symbole schreiben:

  für  .

BeispieleBearbeiten

Lineare OperatorenBearbeiten

Für endlichdimensionale normierte Räume   sind alle linearen Operatoren   Fréchet-differenzierbar mit konstanter Ableitung. An jedem Punkt ist die Ableitung der lineare Operator selbst:   für alle  .

Im unendlichdimensionalen Fall sind unter den linearen Operatoren genau die beschränkten (=stetigen) Fréchet-differenzierbar. Unbeschränkte lineare Operatoren sind nicht Fréchet-differenzierbar.

Reellwertige FunktionenBearbeiten

Ist   eine reellwertige Funktion, die auf einer offenen Menge   definiert ist, und besitzt   stetige partielle Ableitungen, dann ist   auch Fréchet-differenzierbar. Die Ableitung an der Stelle   wird durch den üblichen Gradienten von   gegeben gemäß:

 

Dieses Beispiel zeigt den Zusammenhang zur üblichen Differentialrechnung im  . Die Fréchet-Ableitung ist also tatsächlich eine Verallgemeinerung der Differentialrechnung für normierte Räume.

IntegraloperatorBearbeiten

Sei  ,   stetig und   stetig und im zweiten Argument stetig differenzierbar. Der nichtlineare Integraloperator   definiert durch

 

ist fréchet-differenzierbar. Seine Ableitung   lautet

 

Aufgrund des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung gilt nämlich

 

mit   und wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von   auf   gilt

 

für  . Für   gilt also

 

was die Darstellung der Ableitung beweist.

RechenregelnBearbeiten

Es lassen sich die üblichen Rechenregeln für die totale Ableitung im   auch für die Fréchet-Ableitung zeigen. Folgende Gleichungen gelten, sofern sie im Sinne obiger Definition sinnvoll sind, insbesondere also die vorkommenden Abbildungen an den entsprechenden Stellen differenzierbar sind:

  •  
  •  .
  • Kettenregel:  . Das Produkt   ist hierbei im Sinne der Multiplikation (Hintereinanderausführung) linearer Abbildungen zu verstehen.
  • Ist   ein stetiger, linearer Operator, so ist A überall differenzierbar und es gilt  . Zusammen mit der Kettenregel ergibt sich daraus die Folgerung, dass man stetige, lineare Operatoren aus der Ableitung herausziehen darf:   und  .
  • Produktregel: Ist   eine stetige, n-fach lineare Abbildung, so ist  

Zusammenhang zwischen Fréchet- und Gâteaux-AbleitungBearbeiten

Sei   an der Stelle   Fréchet-differenzierbar, dann existiert für jede beliebige Richtung   das Gâteaux-Differential   und es gilt:

 .

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Außerdem existiert dann die Gâteaux-Ableitung von   an der Stelle  , die im Folgenden mit   bezeichnet wird, und es gilt:

 .

Auch hier gilt die Umkehrung im Allgemeinen nicht. Unter folgenden Bedingungen gilt auch die Umkehrung:

Falls   in einer Umgebung   von   Gâteaux-differenzierbar ist, das heißt das Gâteaux-Differential in jedem Punkt der Umgebung stetig und linear ist, und die Abbildung

  gegeben durch  

im Punkt   stetig ist bezüglich der Operatornorm auf  , so ist   im Punkt   Fréchet-differenzierbar.

Diese Bedingung ist nicht notwendig. Etwa existieren schon im Eindimensionalen total differenzierbare Funktionen, die nicht stetig differenzierbar sind.

AnwendungsbeispielBearbeiten

Die Fréchet-Ableitung kann z. B. zur Lösung sogenannter inverser Randwertprobleme im Rahmen eines Newton-Verfahrens verwendet werden. Als Beispiel für diese Anwendung betrachten wir ein inverses Randwertproblem zur Laplace-Gleichung:

Es sei   ein unbekanntes Gebiet. Wir betrachten das äußere Dirichlet-Problem, bei dem die Randwerte auf   durch eine Quelle im Punkt   gegeben sind. Dann erfüllt die beschränkte und zweimal stetig differenzierbare Funktion   in   die Laplace-Gleichung:

 

und die Dirichlet Randbedingung:

 

Mit   bezeichnen wir die Fundamentallösung zur Laplace-Gleichung, die eine Punktquelle im Punkt   beschreibt.

Beim inversen Randwertproblem gehen wir von einem zweiten (bekannten) Gebiet   aus, welches   enthält. Auf dem Rand   von   messen wir die Werte der Lösung   des direkten Dirichlet-Problems. Wir kennen also die Spur  . Unser Ziel ist nun den unbekannten Rand   von   aus der Kenntnis dieser Spur zu rekonstruieren.

Dieses Problem lässt sich formal durch einen Operator   beschreiben, der den unbekannten Rand   auf die bekannte Spur   abbildet. Wir müssen also folgende nichtlineare Gleichung lösen:

 

Diese Gleichung kann z. B. mit Hilfe des Newton-Verfahrens linearisiert werden. Dazu schränken wir uns auf Gebiete   ein, dessen Rand wie folgt dargestellt werden kann:

 

Wir suchen nun also die unbekannte Radiusfunktion  . Die linearisierte Gleichung (das Newton-Verfahren) sieht dann wie folgt aus:

 

Hierbei bezeichnet   die Fréchet-Ableitung des Operators   (Die Existenz der Fréchet-Ableitung für   kann gezeigt werden und   kann über ein direktes Randwertproblem bestimmt werden!). Diese Gleichung wird dann nach   aufgelöst, wobei wir mit   eine neue Näherung an den unbekannten gesuchten Rand gefunden haben. Anschließend kann mit dieser Näherung das Verfahren iteriert werden.

LiteraturBearbeiten

  • Rainer Kress: Linear Integral Equations. Second Edition. Springer 1998, ISBN 0-387-98700-2
  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. Teubner, Stuttgart – Leipzig, ISBN 3-519-42232-8