Aharonov-Bohm-Effekt

Der Aharonov-Bohm-Effekt (nach David Bohm und Yakir Aharonov) ist ein quantenmechanisches Phänomen, bei dem ein Magnetfeld die Interferenz von Elektronenstrahlen beeinflusst, obwohl diese sich nicht im klassisch zu erwartenden Einflussbereich von befinden. Hauptursache des Effekts ist, dass die Beeinflussung durch das magnetische Vektorpotential erfolgt und nicht durch das Magnetfeld selbst.

Der Aharonov-Bohm-Effekt wurde vom Magazin New Scientist als eines der Sieben Wunder in der Quantenwelt ausgewählt.[1]

Aharonov und Bohm veröffentlichten ihre Arbeit 1959. Werner Ehrenberg und Raymond E. Siday konnten den Effekt jedoch bereits 1949 voraussagen[2]. Offenbar hat aber Walter Franz den Effekt bereits 1939 – also 20 Jahre vor Aharonov und Bohm – in einem Seminar der Physikalischen Gesellschaft, Gauverein Ostland in Danzig vorgestellt.[3]

ExperimentBearbeiten

 
Schematische Darstellung des Experiments. Die Elektronen passieren zwei Spalte und bilden ein Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm. Dieses Interferenzmuster ändert sich, je nachdem ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist.

Im Experiment laufen geladene Teilchen (Elektronen) auf verschiedenen Seiten an einem Zylinder vorbei, in dem ein Magnetfeld   herrscht.[4] Der Zylinder ist von einer Wand umgeben, die von den Teilchen nicht durchdrungen werden kann; außerhalb ist das Magnetfeld Null. Trotzdem hängt der Ausgang des Experiments davon ab, ob das Magnetfeld ein- oder ausgeschaltet ist, denn das Vektorpotential   ist im ersten Fall auch außerhalb des Zylinders vorhanden. Man stelle sich hierbei ein radial verlaufendes Vektorpotential vor. Dessen Rotation   und damit das Magnetfeld ist außerhalb des Zylinders Null, dennoch ist das Vektorpotential selbst nirgends Null.

Die Superposition der Wellenfunktionen hinter dem Zylinder ergibt ein Interferenzmuster,[5] das vom Vektorpotential beeinflusst wird, da die Wellenfunktionen auf Wegen rechts und links des Zylinders eine unterschiedliche Phasenverschiebung erhalten.

Experimente dieser Art wurden Anfang der 1960er Jahre u. a. von Möllenstedt und Robert G. Chambers[6] durchgeführt.

TheorieBearbeiten

Klassisch erfolgt die Beeinflussung eines geladenen Teilchens im Magnetfeld durch die Lorentzkraft des Magnetfeldes, nach der Bewegungsgleichung:[7]

 

mit

  • der Masse   des Teilchens
  • seiner Beschleunigung  
  • seiner elektrischen Ladung  
  • seiner Geschwindigkeit  
  • der magnetischen Flussdichte  
  • dem Vektorprodukt  .

Klassisch ist ein Effekt also nur dort zu erwarten, wo das Magnetfeld   von Null verschieden ist (abgesehen vom elektrischen Feld  , das hier unwesentlich ist).

In der Quantenmechanik dagegen beschreibt man das Verhalten des Teilchens durch den Hamilton-Operator:

 

mit

  • dem kanonischen Impulsoperator  
  • dem kinetischen Impulsoperator  
  • dem Vektorpotential  
  • dem Ort  
  • der Zeit t
  • dem skalaren elektrischen Potential  , das hier unwesentlich ist.

Vektorpotential   und Magnetfeld   hängen durch den Rotationsoperator zusammen:

 

Das Vektorpotential   ist dadurch generell nur bis auf den Gradienten   einer beliebigen skalaren Funktion   bestimmt, da die Rotation eines Gradientenfeldes für zweifach stetig differenzierbare skalare Felder verschwindet (siehe Eichtransformation).

InterpretationBearbeiten

Manchmal wird aus dem Effekt der Schluss gezogen, dass das Vektorpotential in der Quantenmechanik eine fundamentalere Bedeutung habe als das zugehörige Kraftfeld. Das trifft jedoch nicht das Wesentliche: Letztlich ist der magnetische Fluss   entscheidend, der durch ein Kurvenintegral ausgedrückt werden kann:

 

Der Integrationsweg   muss geschlossen sein, was durch den Kreis im Integrationssymbol angedeutet wird, darf sich aber außerhalb des Bereiches mit   befinden.

Nach dem Satz von Stokes

 

mit

  • dem Normalenvektor   auf der Fläche
  • dem zweidimensionalen Flächenelement  .

ist das Linienintegral über die geschlossene Kurve   identisch mit dem Fluss der magnetischen Flussdichte   durch die eingeschlossene Fläche  :

 

Insbesondere zeigt der Satz von Stokes, weswegen die gewählte Eichung des Vektorpotentials irrelevant ist, da das Kurvenintegral über   als Flächenintegral über   geschrieben werden kann und die Rotation des zur Eichung verwendeten Gradientenfeldes verschwindet.

Man kann den Effekt als Folge der nichttrivialen Topologie des Eichfeldes interpretieren:[8] Wegen des nicht einfach zusammenhängenden Raumes (der Zylinderinnenraum ist "ein Loch im Raum") verschwinden auch die Wegintegrale über geschlossene Kurven nicht.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Seven wonders of the quantum world, newscientist.com
  2. Ehrenberg, Siday The Refractive Index in Electron Optics and the Principles of Dynamics, Proceedings of the Physical Society B, Band 62, 1949, S. 8–21. Aharonov und Bohm erfuhren erst nach ihrer Veröffentlichung von dieser Arbeit und wiesen in ihrem Aufsatz von 1961 darauf hin.
  3. HILEY, B. J. (2013): The Early History of the Aharonov-Bohm Effect. arxiv:1304.4736.
  4. Typische Versuchsanordnung
  5. Typische Verschiebung des Interferenzmusters (Memento vom 26. April 2016 im Internet Archive) (pdf; 26 kB)
  6. Chambers Shift of an Electron Interference Pattern by Enclosed Magnetic Flux, Physical Review Letters, Band 5 1960, S. 3–5
  7. Hier wird das SI-System verwendet; im CGS-System müsste durchgehend   und   durch   und   ersetzt werden.
  8. C. Nash, Bohm-Aharonov Effect, Encyclopedia of Mathematics, Springer