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Bei der Linearisierung werden nichtlineare Funktionen oder nichtlineare Differentialgleichungen durch lineare Funktionen oder durch lineare Differentialgleichungen angenähert. Die Linearisierung wird angewandt, da lineare Funktionen oder lineare Differentialgleichungen einfach berechnet werden können und die Theorie umfangreicher als für nichtlineare Systeme ausgebaut ist.

AnwendungenBearbeiten

Anwendung findet die Linearisierung unter anderem in der Elektrotechnik und der Regelungstechnik zur näherungsweisen Beschreibung nichtlinearer Systeme durch lineare Systeme.

Das Ergebnis einer Netzwerkanalyse ist unter Umständen ein nichtlineares Gleichungssystem. Dies kann unter gewissen Voraussetzungen in ein lineares Gleichungssystem überführt werden. Nicht die einzige, aber die einfachste Methode der Linearisierung ist die Linearisierung in einem Arbeitspunkt. Nur diese ist in den folgenden Abschnitten beschrieben.

TangenteBearbeiten

 
Tangenten an  :
blau  
grün  

Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der Tangente in den Graphen. Daraufhin können die Parameter der Tangente abgelesen werden, und die resultierende lineare Funktion (Punktsteigungsform der Geraden)

 

approximiert die Originalfunktion um den Punkt  . Dabei ist   der Anstieg im Punkt  .

Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt, kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden.

Der relative Fehler der Approximation ist

 

Für die Funktion   gilt:

 

Die Bestimmung der Tangente entspricht der Bestimmung des linearen Glieds des Taylorpolynoms der zu approximierenden Funktion.

MultiplikationBearbeiten

Dieser Artikel oder Abschnitt ist nicht allgemeinverständlich formuliert. Die Mängel sind unter Diskussion:Linearisierung beschrieben. Wenn du diesen Baustein entfernst, begründe dies bitte auf der Artikeldiskussionsseite und ergänze den automatisch erstellten Projektseitenabschnitt Wikipedia:Unverständliche Artikel#Linearisierung um {{Erledigt|1=~~~~}}.

Folgendes sollte noch verbessert werden: Erläuterung der Formeln dürftig

 
Eine Multiplikation im Signalflussplan ersetzt durch eine Addition  
(Arbeitspunkte x1,AP, x2,AP und yAP wurden zur übersichtlicheren Darstellung weggelassen)

Befindet sich im Signalflussplan eine Multiplikationsstelle, so lässt sich diese durch Linearisierung in eine Additionsstelle umwandeln:

Linearisierung einer Multiplikation im Arbeitspunkt (AP):

 
 
 

Multiplikation durch Addition genähert:

 
Fehler:  

Beispiel:

 
Wähle:  
 
Fehler:  

DivisionBearbeiten

Dieser Artikel oder Abschnitt ist nicht allgemeinverständlich formuliert. Die Mängel sind unter Diskussion:Linearisierung beschrieben. Wenn du diesen Baustein entfernst, begründe dies bitte auf der Artikeldiskussionsseite und ergänze den automatisch erstellten Projektseitenabschnitt Wikipedia:Unverständliche Artikel#Linearisierung um {{Erledigt|1=~~~~}}.

Folgendes sollte noch verbessert werden: Erläuterung der Formeln dürftig

Es gilt

 

und

 

oder

 

Für die Geometrische Reihe gilt

 
Linearisierung einer Division dargestellt im Signalflussplan
 .

Mit

  und   gilt
 .

Damit ist die linearisierte Division

 

Linearisieren gewöhnlicher DifferentialgleichungenBearbeiten

Ein bekanntes Beispiel für die Linearisierung einer nichtlinearen Differenzialgleichung ist das Pendel. Die Gleichung lautet:

 

Der nichtlineare Teil ist  . Dieser wird für kleine Schwankungen um einen Arbeitspunkt   approximiert durch:

 

Mit dem Arbeitspunkt   gilt:

  und damit die linearisierte Differenzialgleichung
 .

Weitere Details sind in Zustandsraumdarstellung beschrieben.

TangentialebeneBearbeiten

 
Darstellung als Signalflussplan

Soll eine gegebene Funktion   in einem Punkt   linearisiert werden, wird sich der Taylor-Formel bedient. Das Ergebnis entspricht der Tangentialebene in diesem Punkt.

Für die Funktion   gilt in der Umgebung des Punktes  :

 

Beispiel:

 

ergibt die Tangentialebene

 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

 Wikibooks: Linearisierung von resistiven Sensoren – Lern- und Lehrmaterialien