Linearisierung

Bei der Linearisierung werden nichtlineare Funktionen oder nichtlineare Differentialgleichungen durch lineare Funktionen oder durch lineare Differentialgleichungen angenähert. Die Linearisierung wird angewandt, da lineare Funktionen oder lineare Differentialgleichungen einfach berechnet werden können und die Theorie umfangreicher als für nichtlineare Systeme ausgebaut ist.

TangenteBearbeiten

 
Tangenten an  :
blau  
grün  

Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der Tangente in den Graphen. Daraufhin können die Parameter der Tangente abgelesen werden, und die resultierende lineare Funktion (Punktsteigungsform der Geraden)

 

approximiert die Originalfunktion um den Punkt  . Dabei ist   der Anstieg im Punkt  .

Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt, kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden.

Der relative Fehler der Approximation ist

 

Für die Funktion   gilt beispielsweise:

 

Die Bestimmung der Tangente entspricht der Bestimmung des linearen Glieds des Taylorpolynoms der zu approximierenden Funktion.

AnwendungenBearbeiten

Anwendung findet die Linearisierung unter anderem in der Elektrotechnik und der Regelungstechnik zur näherungsweisen Beschreibung nichtlinearer Systeme durch lineare Systeme.

Das Ergebnis einer Netzwerkanalyse ist unter Umständen ein nichtlineares Gleichungssystem. Dies kann unter gewissen Voraussetzungen in ein lineares Gleichungssystem überführt werden. Nicht die einzige, aber die einfachste Methode der Linearisierung ist die Linearisierung in einem Arbeitspunkt. Nur diese ist in den folgenden Abschnitten beschrieben.

Linearisierung der MultiplikationBearbeiten

In einem Signalflussplan lassen sich komplexe Systeme durch ein Blockbild darstellen, das zur qualitativen Visualisierung von mathematischen Modellen dient.

 
Eine Multiplikation im Signalflussplan ersetzt durch eine Addition  
(Arbeitspunkte x1,AP, x2,AP und yAP wurden zur übersichtlicheren Darstellung weggelassen)

Befindet sich in diesem Signalflussplan eine Multiplikationsstelle, so lässt sich diese durch Linearisierung in eine Additionsstelle umwandeln.

Im Folgenden bezeichnen wir mit   das Produkt zweier Zahlen   und  :

 

Im Arbeitspunkt (AP) können wir die Multiplikation linearisieren, indem wir   als Summe des Arbeitspunkts und der Differenz   schreiben:

 

Wir können dieses Produkt nach dem Distributivgesetz ausmultiplizieren. Es ergibt sich die Summe:

 

Wir nehmen nun an, dass das Verhältnis der Abweichungen vom Arbeitspunkt   und dem Arbeitspunkt selber klein ist:

 
und somit auch das Produkt   klein ist. Die linearisierte Multiplikation lautet also:
 

BeispielBearbeiten

Wähle die Zahlen:

 

Nun stellt sich, die Frage, wie die Arbeitspunkte zu wählen sind. Um die Rechnung zu vereinfachen runden wir   auf   ab und   auf   ab: Wähle also:   Das linearisierte Produkt ist also

 

mit dem Fehler  .

Linearisierung der DivisionBearbeiten

 
Linearisierung einer Division dargestellt im Signalflussplan

Wir betrachten nun den Quotienten   zweier Zahlen   und  :

 

Analog wie zur Multiplikation entwickeln wir   um den Arbeitspunkt  . Damit können wir den Quotienten wie folgt schreiben:

 
Ausklammern der Arbeitspunkte liefert für Division:
 

Wir wollen nun den Zähler und den Nenner des Bruches linearisieren. Dazu verwenden wir die Geometrische Reihe. Für eine Nullfolge   gilt:

 

Hierbei ist entsprechend   mit   zu wählen.

Einsetzen liefert die Linearisierung

 
Analog lässt sich der Nenner des obigen Bruchs linearisieren. Die linearisierte Division lässt sich schreiben durch:
 

Linearisieren gewöhnlicher DifferentialgleichungenBearbeiten

Ein bekanntes Beispiel für die Linearisierung einer nichtlinearen Differentialgleichung ist das Pendel. Die Gleichung lautet:

 

Der nichtlineare Teil ist  . Dieser wird für kleine Schwankungen um einen Arbeitspunkt   approximiert durch:

 

Mit dem Arbeitspunkt   gilt:

  und damit die linearisierte Differenzialgleichung
 .

Diese linearisierten Differentialgleichungen sind meist deutlich einfacher zu lösen. Für ein mathematisches Pendel (wähle  ) lässt die Gleichung durch einfache Exponentialfunktionen lösen, wobei die nicht-linearisierte nicht analytisch lösbar ist. Weitere Details über das Linearisieren von Differentialgleichungen sind in dem Artikel über die Zustandsraumdarstellung beschrieben.

TangentialebeneBearbeiten

 
Darstellung als Signalflussplan

Soll eine gegebene Funktion   in einem Punkt   linearisiert werden, wird sich der Taylor-Formel bedient. Das Ergebnis entspricht der Tangentialebene in diesem Punkt.

Für die Funktion   gilt in der Umgebung des Punktes  :

 

Beispiel:

 

ergibt die Tangentialebene

 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wikibooks: Linearisierung von resistiven Sensoren – Lern- und Lehrmaterialien