Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch

mathematischer Satz

Der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch ist ein Lehrsatz der algebraischen Geometrie. Er kann als Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch verstanden werden und ist nach den Mathematikern Friedrich Hirzebruch, Bernhard Riemann und Gustav Roch benannt. Hirzebruch bewies diesen Satz für projektive komplexe Mannigfaltigkeiten. In der im Folgenden formulierten Version gilt er allgemein für komplexe Mannigfaltigkeiten.[1] Der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch selbst kann als Spezialfall der Sätze von Grothendieck-Riemann-Roch und von Atiyah-Singer verstanden werden.

Sei   ein holomorphes Vektorbündel über einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit. Dann gilt

 

wobei   die Todd-Klasse des Tangentialbündels,   die totale Chern-Klasse von   und   die Garbenkohomologie der Garbe der Schnitte in   ist.

Riemannsche Flächen

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Für einen Divisor   auf einer Riemannsche Fläche   betrachtet man das dem Divisor entsprechende Geradenbündel und erhält

 

was zum klassischen Satz von Riemann-Roch

 

äquivalent ist.

Funktorieller Zugang

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Der Satz von Grothendieck-Riemann-Roch gibt eine Verallgemeinerung des Satzes für Morphismen   und hat durch diesen funktoriellen Zugang einen einfacheren Beweis. Der Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch ist der Spezialfall für  .

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Nachruf Hirzebruch Friedrich - Bayerische Akademie der Wissenschaft