Abgeschlossene Abbildung

Abgeschlossene Abbildungen werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Es handelt sich um Abbildungen zwischen zwei topologischen Räumen, die abgeschlossene Mengen wieder auf abgeschlossene Mengen abbilden.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Abbildung zwischen den topologischen Räumen   und  .   heißt abgeschlossen, wenn für jede abgeschlossene Menge   auch die Bildmenge   abgeschlossen ist.[1][2][3]

BeispieleBearbeiten

  • Jede stetige Abbildung   von einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall in die reellen Zahlen ist abgeschlossen. Auf unbeschränkten Intervallen gilt das nicht, so ist zum Beispiel die stetige Arkustangens-Funktion   nicht abgeschlossen, denn   ist abgeschlossen, aber die Bildmenge   ist nicht abgeschlossen.
  • Allgemeiner ist jede stetige Abbildung   von einem kompakten Raum   in einen Hausdorffraum   abgeschlossen. Ist nämlich   abgeschlossen, so ist   als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums kompakt und daher ist auch das Bild   kompakt. Als kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist   abgeschlossen.
  • Homöomorphismen sind abgeschlossen. Genauer gilt, dass eine bijektive Abbildung   zwischen topologischen Räumen genau dann ein Homöomorphismus ist, wenn   stetig und abgeschlossen ist.[4][5]
  • Eigentliche Abbildungen sind abgeschlossen. Genauer ist eine stetige Abbildung   genau dann eigentlich, wenn sie abgeschlossen ist und   kompakt ist für jedes  .[6]
  • Offene Abbildungen müssen nicht abgeschlossen sein. Die Abbildung   ist offen, die Bildmenge der abgeschlossenen Menge   ist die nicht-abgeschlossene Menge  .[7] Umgekehrt müssen abgeschlossene Abbildungen nicht offen sein, wie das Beispiel einer konstanten Abbildung zeigt.

EigenschaftenBearbeiten

  • Kompositionen abgeschlossener Abbildungen sind wieder abgeschlossen.
  • Sei   eine abgeschlossene Abbildung,   und es sei   offen. Dann ist   offen.[8]
  • Eine Abbildung   zwischen topologischen Räumen ist genau dann abgeschlossen, falls   für alle Teilmengen  .[9]

AbgrenzungBearbeiten

In der Funktionalanalysis betrachtet man sogenannte abgeschlossene Operatoren   zwischen topologischen Vektorräumen   und  , das sind solche linearen Operatoren, deren Graph eine abgeschlossene Menge im Produktraum   ist. Das darf nicht mit dem oben betrachteten Begriff der abgeschlossenen Abbildung zwischen topologischen Räumen verwechselt werden. So ist zum Beispiel die Inklusionsabbildung   der Folgenräume mit ihren üblichen Normtopologien als stetiger, linearer Operator sicher abgeschlossen, aber es handelt sich nicht um eine abgeschlossene Abbildung zwischen den zugehörigen topologischen Räumen, denn   ist abgeschlossen, aber das Bild   ist nicht abgeschlossen.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfgang Franz: Topologie I. Walter de Gruyter, 1973, ISBN 3-11-004117-0, S. 37.
  2. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9, Definition 2.26.
  3. H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Definition 17b.
  4. Wolfgang Franz: Topologie I. Walter de Gruyter, 1973, ISBN 3-11-004117-0, Satz 5.7.
  5. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2001, ISBN 3-540-67790-9, Satz 2.28.
  6. Erich Ossa: Topologie. Verlag Vieweg+Teubner, ISBN 3-8348-0874-1, Satz 2.4.20.
  7. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, hinter Definition IV.3.1.
  8. H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Satz 17.9.
  9. H. J. Kowalsky: Topologische Räume. Springer-Verlag, 1961, ISBN 978-3-0348-6907-2, Satz 17.8.