Abelisierung

Faktorkommutatorgruppe

Die Abelisierung (auch Abelianisierung oder Faktorkommutatorgruppe) ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Die Abelisierung einer Gruppe ist in gewisser Hinsicht die beste Approximation durch eine abelsche Gruppe.

Definition

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Die Faktorgruppe

 

einer Gruppe   nach ihrer Kommutatoruntergruppe   wird Abelisierung von   genannt. Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls für die kanonische Surjektion

 

verwendet.

Eigenschaften

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  • Die Abelisierung ist eine abelsche Gruppe; die Abelisierung einer abelschen Gruppe ist die Gruppe selbst.
  • Ist   ein Gruppenhomomorphismus, so induziert die Verkettung   einen kanonischen Homomorphismus  ; die Abelisierung ist funktoriell.
  • Die Abelisierung ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie aller Gruppen, d. h. ist   eine beliebige Gruppe und   eine abelsche Gruppe, so induziert die kanonische Abbildung   eine Bijektion
 
Anders gesagt: Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert über die Abelisierung.
  • Insbesondere haben   und   dieselben Charaktere.
  • Die Abelisierung einer Gruppe   ist kanonisch dual zur Gruppenkohomologie
 

Beispiele

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Verlagerung

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Ist   eine Untergruppe einer endlichen Gruppe  , so gibt es einen kanonischen Homomorphismus

 

der Verlagerung genannt wird. Sie ist dual zur Korestriktion

 

lässt sich aber auch explizit beschreiben: Es sei   ein Schnitt der kanonischen Projektion (kein Homomorphismus, lediglich eine Abbildung). Dann ist die Verlagerung gegeben durch

 [2]
  1. J. P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9: Abschnitte 14.4 und 15.1
  2. J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: Cohomology of number fields. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1999, ISBN 3-540-66671-0: Abschnitt I.5, S. 52f.