Monotone Abbildung

Klasse mathematischer Abbildungen
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Eine monoton steigende reelle Funktion (rot) ist isoton und eine monoton fallende reelle Funktion (blau) ist antiton bezüglich der ≤-Ordnung auf den reellen Zahlen

Eine monotone Abbildung ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen, bei der aus der Ordnung zweier Elemente der Definitionsmenge auf die Ordnung der jeweiligen Bildelemente der Zielmenge geschlossen werden kann. Bleibt die Ordnung der Elemente erhalten, spricht man von einer isotonen oder ordnungserhaltenden Abbildung oder auch von einem Ordnungshomomorphismus. Kehrt sich die Ordnung um, spricht man von einer antitonen oder ordnungsumkehrenden Abbildung.

Bekannte Beispiele monotoner Abbildungen sind (nicht notwendigerweise streng) monotone reelle Funktionen. Der Monotoniebegriff wird aber allgemeiner auch auf vektorwertige Funktionen, Operatoren, Zahlenfolgen, Mengenfolgen und Funktionenfolgen angewandt.

DefinitionBearbeiten

Sind   und   zwei halbgeordnete Mengen, dann heißt eine Abbildung   isoton, ordnungserhaltend oder ein Ordnungshomomorphismus, wenn für alle Elemente  

 

gilt, und antiton oder ordnungsumkehrend, wenn für alle  

 

gilt. Eine Abbildung heißt monoton, wenn sie isoton oder antiton ist. Sind die entsprechenden strikten Ordnungen   und   definiert, so heißt eine Abbildung   strikt isoton, wenn für alle Elemente  

 

gilt, und strikt antiton, wenn für alle  

 

gilt. Eine Abbildung heißt strikt monoton, wenn sie strikt isoton oder strikt antiton ist.

BeispieleBearbeiten

Monotone FolgenBearbeiten

  • Eine Abbildung von   nach   definiert durch   ist genau dann monoton, wenn die Folge   eine monotone Folge ist.
  • Ist   eine beliebige Menge und   ihre Potenzmenge, so lässt sich auf der Potenzmenge eine Ordnungsrelation durch die Teilmengenbeziehung   definieren. Eine Abbildung von   nach   definiert durch   ist genau dann monoton, wenn die Mengenfolge   eine monotone Mengenfolge ist.
  • Auf einer Menge von reellwertigen Funktionen   mit Definitionsbereich   lässt sich eine Ordnung definieren durch
 .
Eine Abbildung von   nach   definiert durch   ist genau dann monoton, wenn die Funktionenfolge   eine monotone Funktionenfolge ist.

Monotone FunktionenBearbeiten

  • Die monotonen Abbildungen von   nach   sind genau die monotonen reellen Funktionen.
  • Betrachtet man auf dem   Ordnungen, die durch verallgemeinerte Ungleichung   definiert werden, so sind monotonen Abbildungen von   nach   genau die K-monotonen Funktionen.
  • Monotone Abbildungen, die von dem Raum der symmetrischen reellen Matrizen   versehen mit der Loewner-Halbordnung nach   abbilden heißen matrix-monotone Funktionen.
  • Maße auf einer  -Algebra   über einer Grundmenge   sind monotone Abbildungen von   nach  .
  • Äußere Maße auf der Grundmenge   sind monotone Abbildungen von   nach  .

EigenschaftenBearbeiten

Eine isotone Abbildung stellt einen Ordnungs-Homomorphismus dar, eine antitone Abbildung hingegen einen Ordnungs-Antihomomorphismus. Eine bijektive isotone Abbildung, deren Inverse ebenfalls isoton ist, ist ein Ordnungs-Isomorphismus, eine bijektive antitone Abbildung mit antitoner Inverser ein Ordnungs-Antiisomorphismus.

Die Inverse   einer bijektiven isotonen Abbildung   muss nicht notwendigerweise selbst wieder isoton sein. Sind beispielsweise   mit   und   mit   sowie   die (identische) Abbildung  , dann ist   zwar isoton, aber   nicht, denn   impliziert nicht  . Gleiches gilt für die Antitonie der Inversen einer bijektiven antitonen Abbildung. Daher muss hier bei Iso- und Antiisomorphismen die Isotonie beziehungsweise die Antitonie der Inversen explizit gefordert werden.

Die Hintereinanderausführung   zweier isotoner Abbildungen   und   ist wieder isoton. Nachdem auch die identische Abbildung   isoton ist, stellt die Menge der isotonen Selbstabbildungen   mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung ein Monoid (das Endomorphismenmonoid) dar. Allgemeiner bilden halbgeordnete Mengen zusammen mit isotonen Abbildungen eine (kartesisch abgeschlossene) Kategorie. Die bijektiven isotonen Selbstabbildungen mit isotoner Inversen bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung entsprechend eine Gruppe (die Automorphismengruppe). Die Hintereinanderausführung zweier antitoner Abbildungen ist jedoch nicht wieder antiton, sondern isoton. Die Hintereinanderausführung einer isotonen mit einer antitonen Abbildung ist unabhängig von der Reihenfolge stets antiton.

Verwandte BegriffeBearbeiten

Eine Abbildung   zwischen zwei halbgeordneten Mengen   und  , für die die Umkehrung

 

für alle   gilt, heißt ordnungsreflektierend. Eine ordnungsreflektierende Abbildung ist stets injektiv. Eine sowohl ordnungserhaltende, als auch ordnungsreflektierende Abbildung, für die also

 

für alle   gilt, wird Ordnungseinbettung genannt. Eine surjektive Ordnungseinbettung ist ein Ordnungsisomorphismus und man schreibt dann  . Für eine Ordnungseinbettung gilt lediglich  .

LiteraturBearbeiten