Ordnungsisomorphismus

Ein Ordnungsisomorphismus ist ein Begriff aus der Ordnungstheorie, einem Teilbereich der Mathematik. Er ermöglicht das eindeutige Übertragen von Kleiner-gleich-Relationen zwischen Mengen.

DefinitionBearbeiten

Sind zwei Halbordnungen   und   gegeben, so heißt eine Abbildung

 

ein Ordnungsisomorphismus, wenn   eine bijektive isotone Abbildung ist, deren Umkehrabbildung   ebenfalls eine isotone Abbildung ist.

Existiert zwischen   und   ein Ordnungsisomorphismus, so lässt sich die Existenz auch mit   ausdrücken und   und   werden als ordnungsisomorph bezeichnet. Bildet ein Ordnungsisomorphismus eine Menge auf sich selbst ab, so ist er ein Automorphismus und wird auch Ordnungsautomorphismus genannt.

BeispieleBearbeiten

  • Die identische Abbildung   einer jeden Halb- / Totalordnung ist zugleich auch ein Ordnungsautomorphismus.
  • Zwischen beschränkten offenen und beschränkten halboffenen oder abgeschlossenen Intervallen lässt sich kein Ordnungsisomorphismus erklären, denn die letzteren haben kleinste und/oder größte Elemente, die ersteren nicht.
  • Sei   eine Funktion, die von   in die Menge aller Quadratzahlen   abbildet:
     
    Die Funktion lautet neu:  
    Von dieser neuen Funktion   existiert auch eine Umkehrfunktion:  
    Somit ist   bijektiv. Weil   bijektiv und isoton ist und weil die Ordnungen   und   total sind, so ist   auch ein Ordnungsisomorphismus.
  • Die identische Abbildung   ist eine bijektive antitone Abbildung zwischen   und  .
  • Die Funktion des additiv inversen Elementes   ist eine Involution und damit auch eine Bijektion.   ist eine antitone Abbildung von   in sich selbst und außerdem eine isotone Abbildung von   nach  . Des Weiteren ist   gar ein Ordnungsisomorphismus, da die Ordnungsrelationen Totalordnungen sind und da   bijektiv ist. Dies trifft unter anderem zu für die ganzen Zahlen  , die rationalen Zahlen   und für die reellen Zahlen   zu.
  • Die Komponentenweise-kleiner-oder-gleich-Relation auf beliebigen n-Tupeln   bildet für   eine echte Halbordnung, die das Totalitätskriterium nicht erfüllt. Die Funktion   ist offensichtlich bijektiv, die Umkehrfunktion lautet  . Auf   ist außerdem sowohl   als auch   isoton, was   und   als Ordnungsisomorphismen – genauer gesagt als einen Ordnungsautomorphismen, denn sowohl die Definitions- als auch die Zielmengen sind  , – auszeichnet.

KompositionBearbeiten

Sei   ein Ordnungsisomorphismus zwischen   und   und sei   ein Ordnungsisomorphismus zwischen   und  , so ist auch   ein Ordnungsisomorphismus und zwar zwischen   und  . Durch die Eigenschaft – dass es sich um Ordnungsisomorphismen handelt – ist garantiert, dass die Abbildungen bijektiv sind, womit auch die durch Komposition entstandene Funktion bijektiv sein muss. Durch die Bijektivität wird ebenfalls garantiert, dass das Bild von   gleich der Zielmenge von   ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Es gilt wegen der Bijektivität, dass
 
gilt und ebenso:
 
  • Sind   und   Totalordnungen und existiert eine isotone Bijektion  , so ist diese automatisch auch ein Ordnungsisomorphismus, bzw.   ist auch isoton.
  • Es lässt sich zeigen, dass jede endliche Menge ordnungsisomorph zu der Menge natürlicher Zahlen bis zur Mächtigkeit der Menge ist. Formal:
 .

LiteraturBearbeiten

  • Rudolf Berghammer: Ordnungen, Verbände und Relationen mit Anwendungen. Springer+Vieweg, 2. Auflage 2012. ISBN 978-3658006181