Monotone Funktionenfolge

Eine monotone Funktionenfolge ist in der Mathematik eine spezielle Funktionenfolge reellwertiger Funktionen. Dabei heißt eine Funktionenfolge monoton wachsend, wenn die Funktionswerte für jedes Argument eine monoton wachsende Folge bilden und monoton fallend, wenn sie eine monoton fallende Folge bilden. Monotone Funktionenfolgen sind einer der vielen Monotoniebegriffe in der Mathematik und können als Spezialfall einer monotonen Abbildung angesehen werden.

DefinitionBearbeiten

Sind   für   reellwertige Funktionen, dann heißt die Funktionenfolge  

  • monoton wachsend auf  , wenn   für alle   ist,
  • monoton fallend auf  , wenn   für alle   ist, und
  • monoton, wenn sie entweder monoton fallend oder monoton wachsend ist.

BeispielBearbeiten

Man betrachte als Beispiel die Funktionenfolge  . Sie ist

  • monoton fallend auf  , da   äquivalent ist zu   und
 
da   stets in   ist für   und   stets kleiner als null ist für  . Damit ist die Funktionenfolge auch monoton auf  .
  • monoton wachsend auf  , da dann   stets größer als 1 ist, und der Term   immer positiv ist, also ist
 .
Damit ist die Funktionenfolge auch monoton auf  . Sie ist jedoch nicht monoton auf  , da sie auf diesem größeren Intervall kein eindeutiges Monotonieverhalten hat, sondern nur auf den kleineren Teilintervallen   und  .
  • nicht monoton auf  . Zwar ist   immer positiv, aber es ist
 .
Somit wechselt   für   ständig die Vorzeichen, es kann demnach keine Monotonie gelten.

VerwendungBearbeiten

Monotone Funktionenfolgen finden Verwendung als Voraussetzung in einigen Sätzen der Analysis wie zum Beispiel bei dem Satz von Dini und insbesondere in der Integrationstheorie etwa bei dem Satz von der monotonen Konvergenz und bei dem Beweis des Lemmas von Fatou.

LiteraturBearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.