Satz von Dini

mathematischer Satz

In der Mathematik besagt der (nach Ulisse Dini benannte) Satz von Dini, dass eine monotone Folge reellwertiger stetiger Funktionen mit stetiger Grenzfunktion auf Kompakta gleichmäßig konvergiert.

AussageBearbeiten

Sind   ein kompakter topologischer Raum,

 

eine Folge reellwertiger, stetiger Funktionen mit

 

für alle natürlichen Zahlen   und alle   und existiert eine stetige Grenzfunktion  , das heißt

 

für alle  , so konvergiert die Folge bereits gleichmäßig gegen  , das heißt

 

BeweisBearbeiten

Für ein vorgegebenes   setze

 .

Da die Folge der   punktweise gegen   konvergiert, bilden die   eine Überdeckung von  , die wegen der vorausgesetzten Stetigkeit offen ist. Die Überdeckung   ist monoton wachsend, da die Funktionenfolge diese Eigenschaft hat. Weil   kompakt ist, wird   bereits von endlich vielen der   überdeckt. Ist   der größte Index dieser endlich vielen Überdeckungsmengen, so gilt   für alle größeren Indizes  . Also ist

  für alle   und  ,

woraus die Behauptung folgt.

BemerkungBearbeiten

Der Satz von Dini gilt auch für monoton fallende Folgen, wie man entweder durch einen entsprechend angepassten Beweis oder durch Übergang zur Folge   sieht.

Auf die Voraussetzung, dass die Grenzfunktion wieder stetig ist, kann nicht verzichtet werden, wie man an dem Beispiel   auf   einfach sehen kann.

LiteraturBearbeiten