Distributiver Verband

mathematische Struktur

Ein distributiver Verband ist eine spezielle Struktur der Mathematik. Gegenüber allgemeinen Verbänden, in denen für die beiden (zweistelligen) Operationen und nur die Assoziativgesetze, die Kommutativgesetze und die Absorptionsgesetze gefordert werden, gelten in einem distributiven Verband noch zusätzlich Distributivgesetze für beide Richtungen.

Die Gültigkeit der Distributivgesetze macht Verbände interessanter. Sie lassen sich einfacher untersuchen, da auftretende Terme sich leichter umformen lassen und es in gewissem Sinne einfache Darstellungen gibt. Dabei treten distributive Verbände sehr häufig auf, auch in Bereichen außerhalb der Mathematik. Boolesche Algebren sind spezielle distributive Verbände.

PräzisierungBearbeiten

Im Folgenden meinen wir mit dem Verband V stets den Verband  .

Ein Verband   heißt distributiver Verband, wenn für alle   gilt:

  •  
  •  .

Man kann jede der beiden Aussagen aus der anderen mit Hilfe der Verbandsaxiome ableiten.[1] Daher genügt es, die Gültigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu fordern.

Jeder distributive Verband ist modular, aber nicht umgekehrt.

Ein modularer Verband, der nicht distributiv ist, enthält immer den Verband  , den Verband der Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe, als Unterverband.[2] Dies ergibt das Kriterium:

  • Hat ein Verband weder einen Unterverband der Form   noch einen der Form  , dann ist er distributiv.

BeispieleBearbeiten

Distributive Verbände kann man in vielen Gebieten innerhalb und außerhalb der Mathematik finden. Distributive Verbände sind:

Beispiele für distributive Verbände
Verband der Teilmengen von   durch Teilmengenrelation geordnet
Verband der Teiler von 60, mit ggT und kgV
  mit der Produkt-Ordnung


nicht-distributive Verbände
 , der minimale nicht-modulare Verband
 , der minimale modulare, nicht-distributive Verband:  , aber  


KürzungsregelBearbeiten

In einem distributiven Verband gilt die Kürzungsregel: Gelten für   die beiden Gleichungen

  • aus   und   folgt  .[3]

Das Beispiel   zeigt, dass diese Regel in beliebigen Verbänden nicht gilt. Sie ist in dem folgenden Sinn typisch für distributive Verbände:

  • Ist die Kürzungsregel für beliebige Wahl von   in einem Verband V gültig, dann ist   distributiv.[4]

Komplemente in distributiven VerbändenBearbeiten

Für ein gegebenes Element a eines beschränkten Verbandes nennt man ein Element b mit der Eigenschaft

  •   und  

ein Komplement von a.

Während es im Allgemeinen zu einem Element mehrere komplementäre Elemente geben kann, gilt:

  • wenn in einem distributiven Verband ein Komplement von a existiert, dann ist es eindeutig bestimmt.[5]

Man bezeichnet ein eindeutig bestimmtes Komplement von   mit   oder   (vor allem bei Anwendungen in der Logik) oder  .

Ein distributiver Verband, in dem jedes Element   ein (eindeutig bestimmtes) Komplement   hat, heißt Boolesche Algebra.

Auch in einem nicht-distributiven Verband kann jedes Element genau ein Komplement haben. Damit man die Distributivität folgern kann, muss man mehr fordern:

  • Ein Verband   ist distributiv, wenn jedes Element in jedem Intervall höchstens ein relatives Komplement besitzt.

Ist V ein distributiver Verband und haben   Komplemente, dann haben auch   und   Komplemente und es gilt

  •   und  

Dies ist eine andere Formulierung der de Morganschen Regeln.

Repräsentationssatz für distributive VerbändeBearbeiten

 
 , der Verband der Teiler von 60 (geordnet durch Teilbarkeit) und die Repräsentation durch den Mengenverband der (irreduziblen) Primzahlpotenz-Elemente

Distributive Verbände sind auch anders zu charakterisieren, denn Birkhoff (1933) und Stone (1936) haben gezeigt:

  • Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn er isomorph zu einem Mengen-Ring ist.[6]

Hieraus folgt natürlich, dass sich jeder distributive Verband in eine Boolesche Algebra einbetten lässt.

Weitere EigenschaftenBearbeiten

Jeder Unterverband eines distributiven Verbandes ist distributiv, dagegen sind Teilverbände nicht immer distributiv.

Das homomorphe Bild eines distributiven Verbandes ist distributiv.

Das direkte Produkt beliebig vieler distributiver Verbände ist distributiv.

Vollständige DistributivitätBearbeiten

 
vollständiger distributiver Verband, der  -volldistributiv, aber nicht volldistributiv ist. Es gilt  , aber  

Ein Verband heißt  -volldistributiv, wenn für jede Wahl von   und jede Teilmenge   gilt

 .

 -Volldistributivität wird dual definiert.

Der Begriff Volldistributivität ohne Zusatz wird unterschiedlich verwendet:

  • Es kann bedeuten, dass eine von diesen beiden Bedingungen erfüllt ist und im anderen Fall spricht man von dual-volldistributiv oder verwendet explizit die obige Bezeichnung.[7]
  • Es kann bedeuten, dass beide Bedingungen erfüllt sind.
  • Es kann bedeuten, dass das folgende unendliche Distributivgesetz und die dazu duale Form gilt
Für alle   gilt:   [8]

Für alle drei Begriffe gilt:

Jeder volldistributive Verband ist distributiv und jeder endliche distributive Verband ist volldistributiv.[9]

Ein vollständiger distributiver Verband braucht nicht volldistributiv sein, wie das Beispiel zeigt.[10]

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Der Beweis ist eine Gleichungsumformung. Wir nehmen an, dass D2 gilt, und wollen D1 zeigen:
     ; Anwendung des zweiten Axioms:
     ; nach Absoptionsgesetz:
     ; Anwendung des zweiten Axioms in Klammer:
     ; nach Assoziativgesetz:
     ; die linke Seite entspricht nach dem Absorptionsgesetz  :
     .
    Die Gegenrichtung folgt dual.
  2. Der Beweis (mit mehreren Zwischenschritten) findet sich z. B. in: H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 111
  3. Auch dies wird mit einer einfachen Folge von Gleichungen bewiesen, in der das Absorptionsgesetz, das Distributivgesetz und die Voraussetzungen verwendet werden:    ; nach H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114
  4. Die Beweisidee ist, dass in   und   jeweils die Kürzungsregel nicht gilt. Vgl. H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 113f
  5. Dies folgt unmittelbar aus der Kürzungsregel
  6. G.Grätzer, Lattice Theory, 1971, S. 75
  7. So z. B. H. Gericke, Theorie der Verbände, ²1967, S. 114
  8. Diese Form wurde aus G. Grätzer, Lattice Theory, p 118, Exercise 7 übernommen.
  9. H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 114 f.
  10. Der Verband ohne die 1 ist als Produkt von   distributiv. Dass der ganze Verband vollständig und distributiv ist, sieht man leicht. Das Beispiel findet sich (mit etwas anderem Hasse-Diagramm) in H. Gericke, Theorie der Verbände, Mannheim, ²1967, S. 115

LiteraturBearbeiten