Kleinstes gemeinsames Vielfaches

mathematische Funktion
(Weitergeleitet von KgV)

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist ein mathematischer Begriff. Sein Pendant ist der größte gemeinsame Teiler (ggT). Beide spielen unter anderem in der Arithmetik und der Zahlentheorie eine Rolle.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen und ist die kleinste positive natürliche Zahl, die sowohl Vielfaches von als auch Vielfaches von ist.[1] Zusätzlich wird für den Fall oder das kgV definiert als .[2]

Die englische Bezeichnung für das kleinste gemeinsame Vielfache ist least common multiple, oder kurz lcm und findet in mathematischen Texten ebenfalls Verwendung.[3]

Berechnung des kgV von natürlichen ZahlenBearbeiten

Berechnung über die VielfachenBearbeiten

  • Die positiven Vielfachen von 12 sind: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …
  • Die positiven Vielfachen von 18 sind: 18, 36, 54, 72, 90, 108, …
  • Die gemeinsamen positiven Vielfachen von 12 und 18 sind also 36, 72, 108, …
  • und das kleinste von diesen ist 36; in Zeichen:
 [4]

Berechnung über die PrimfaktorzerlegungBearbeiten

ggT und kgV kann man über die Primfaktorzerlegung der beiden gegebenen Zahlen bestimmen. Beispiel:

 
 

Für das kgV nimmt man die Primfaktoren, die in mindestens einer der beiden Zerlegungen vorkommen, und als zugehörigen Exponenten den jeweils größeren der Ausgangsexponenten:

 .[5][6]

Berechnung über den größten gemeinsamen Teiler (ggT)Bearbeiten

Es gilt die folgende Gleichung:

 

Sind beide Zahlen positiv oder negativ, so entfallen die Betragsstriche. Damit lässt sich das kgV berechnen, falls der ggT z. B. mit dem euklidischen Algorithmus bereits bestimmt wurde. (Umgekehrt kann man mit dieser Formel auch den ggT aus dem kgV berechnen.) Am einfachsten ist es meist, nach der Bestimmung des ggT eine der beiden Zahlen durch den ggT zu teilen und mit der anderen Zahl zu multiplizieren. Der Betrag des Ergebnisses ist das gesuchte kgV. Also gilt:

 

Beispiel: Der ggT von 18 und 24 ist 6. Zur Berechnung des ggT mittels euklidischem Algorithmus siehe den Artikel zum ggT. Das kgV ist folglich (da beide Zahlen positiv sind, entfällt der Betrag)

 .

Die Gleichung zu Beginn des Abschnitts ist übrigens leicht zu beweisen:

Nachweis für positive ganze Zahlen m und n, alle anderen Fälle lassen sich analog behandeln. Sei  , dann ist   auch Teiler des Produkts  . Die Zahl   enthalte dagegen alle Primfaktoren des Produkts  , die   nicht enthält. Betrachtet man, wie der   aus der Primfaktordarstellung des Produkts aus   und   berechnet wird, dann folgt  . Daraus ergibt sich die obige Gleichung.[7]

Das kgV von mehreren ZahlenBearbeiten

Man verwendet alle Primfaktoren, die in mindestens einer der Zahlen vorkommen, mit der jeweils höchsten vorkommenden Potenz, zum Beispiel:

 
 
 

also:

 

Man könnte auch zunächst   berechnen und danach   denn als eine zweistellige Verknüpfung auf den ganzen Zahlen ist das kgV assoziativ:

 

Dies rechtfertigt die Schreibweise  .[8]

AnwendungenBearbeiten

BruchrechnungBearbeiten

Angenommen, man möchte die Brüche   und   addieren. Dazu müssen diese durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Man könnte   mit   multiplizieren, was   ergibt. Der kleinstmögliche gemeinsame Nenner (der sog. Hauptnenner) ist aber  .[9] Die beiden Brüche werden auf diesen Nenner erweitert und dann addiert. Das Ergebnis wird gekürzt:

 [10]

Das kgV in RingenBearbeiten

Analog zum ggT ist das kgV in Ringen definiert: Ein Ringelement   heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches zweier Ringelemente   und  , wenn   ein gemeinsames Vielfaches von   und   ist und seinerseits jedes andere gemeinsame Vielfache von   und   ein Vielfaches von   ist.

Formal schreibt man diese Definition für einen Ring   so:

 

Diese allgemeinere Definition lässt sich auf mehrere Zahlen ausweiten (sogar auf unendlich viele).

BeispieleBearbeiten

Das kgV von PolynomenBearbeiten

Das kgV lässt sich nicht nur für natürliche (und ganze) Zahlen definieren. Man kann es z. B. auch für Polynome bilden. Statt der Primfaktorzerlegung nimmt man hier die Zerlegung in irreduzible Faktoren:

 

Dann ist

 .

Die Division mit Rest, die auch für Polynome existiert, erleichtert das Auffinden von gemeinsamen Teilern.

Gaußscher ZahlenringBearbeiten

Im gaußschen Zahlenring   ist der größte gemeinsame Teiler von   und   gerade  , denn   und  . Genau genommen ist   ein größter gemeinsamer Teiler, da alle zu dieser Zahl assoziierten Zahlen ebenfalls größte gemeinsame Teiler sind.

Nicht in jedem Ring existiert für zwei Elemente ein ggT oder ein kgV. Wenn sie einen ggT haben, können sie mehrere ggT haben. Ist der Ring ein Integritätsring, dann sind alle ggT zueinander assoziiert, in Zeichen  .

Ist   ein Integritätsring und haben die Elemente   und   ein kgV, dann haben sie auch einen ggT, und es gilt die Gleichung

 

Ist jedoch nur bekannt, dass ein ggT von   und   existiert, dann muss nicht unbedingt auch ein kgV existieren.

IntegritätsringBearbeiten

Im Integritätsring   haben die Elemente

 

keinen ggT: Die Elemente   und   sind zwei maximale gemeinsame Teiler, denn beide haben den gleichen Betrag. Jedoch sind diese zwei Elemente nicht zueinander assoziiert, also gibt es keinen ggT von   und  .

Die genannten Elemente   und   haben aber ihrerseits einen ggT, nämlich  . Dagegen haben sie kein kgV, denn wenn   ein kgV wäre, dann folgt aus der „ggT-kgV-Gleichung“, dass   assoziiert zu   sein muss. Das gemeinsame Vielfache   ist jedoch kein Vielfaches von  , also ist   kein kgV und die beiden Elemente haben gar kein kgV.

BemerkungenBearbeiten

Ein Integritätsring, in dem je zwei Elemente einen ggT besitzen, heißt ggT-Ring oder ggT-Bereich. In einem ggT-Ring haben je zwei Elemente auch ein kgV.

In einem faktoriellen Ring haben je zwei Elemente einen ggT.

In einem euklidischen Ring lässt sich der ggT zweier Elemente mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Schüler-Duden. Die Mathematik I. Dudenverlag, Mannheim 1990, ISBN 3-411-04205-2, S. 210.
  2. Harald Scheid: Einführung in die Zahlentheorie. Klett Verlag, Stuttgart, 1972, ISBN 3-12-983240-8, S. 79.
  3. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 5. Auflage. Oxford University Press, Oxford, 1979, ISBN 0-19-853171-0, § 5.1, S. 48.
  4. kgv-und-ggt berechnen
  5. H. Athen, J. Bruhn: Lexikon der Schulmathematik. Band 2, Aulis Verlag, Köln 1977, S. 488.
  6. kgv-und-ggt berechnen
  7. math-www.uni-paderborn.de, S. 14 ggT und kgV
  8. Harald Scheid: Einführung in die Zahlentheorie. Klett Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-12-983240-8, S. 84/85.
  9. Heinz Griesel und andere: Elemente der Mathematik Niedersachsen 5. Schuljahr, Schroedel Verlag, Hannover 2005, ISBN 3-507-87205-6, S. 173.
  10. Heinz Griesel und andere: Elemente der Mathematik Niedersachsen 6. Schuljahr, Schroedel Verlag, Hannover 2005, ISBN 3-507-87206-4, S. 9.