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Infimum und Supremum

mathematische Begriffe
Die Bildmenge der abgebildeten Funktion ist beschränkt, damit ist auch die Funktion beschränkt.

In der Mathematik treten die Begriffe Supremum und Infimum sowie kleinste obere Schranke bzw. größte untere Schranke bei der Untersuchung halbgeordneter Mengen auf. Anschaulich ist das Supremum eine obere Schranke, die kleiner als alle anderen oberen Schranken ist. Entsprechend ist das Infimum eine untere Schranke, die größer als alle anderen unteren Schranken ist. Wenn ein Supremum oder Infimum existiert, ist es eindeutig bestimmt. Das Konzept wird in unterschiedlichen Abwandlungen in fast allen mathematischen Teilgebieten verwendet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionenBearbeiten

Suprema (und Infima) von MengenBearbeiten

AnschauungBearbeiten

 
Das Supremum ist die kleinste obere Schranke einer Menge.

Das Supremum (auf deutsch „Oberstes“) einer Menge ist verwandt mit dem Maximum einer Menge und ist – anschaulich gesprochen – ein Element, welches „über“ allen oder „jenseits“ (oberhalb) aller anderen Elemente liegt. Der Ausdruck „über den anderen“ soll andeuten, dass das Supremum nicht das größte Element „unter den anderen“ sein muss, sondern durchaus auch außerhalb („jenseits“) der Menge liegen kann. Und weil es mehrere Elemente geben kann, die dieser Anschauung entsprechen, wird aus Eindeutigkeitsgründen das kleinste Element gewählt, welches diese Eigenschaft hat; sozusagen das Element, das am „nächsten“ oder „unmittelbar“ über allen anderen liegt – das Supremum bezeichnet also ein „unmittelbar Darüberliegendes“. Elemente, die zwar über allen Elementen einer Menge liegen, aber nicht zwingend in unmittelbarer Weise, heißen obere Schranken. Damit ergibt sich dann die Definition des Supremums als kleinste obere Schranke einer Menge.

Das Infimum (deutsch „untere Grenze“) einer Menge ist analog definiert, als „unmittelbar Darunterliegendes“ bzw. größte untere Schranke.

Im ReellenBearbeiten

Diese Anschauung lässt sich leicht auf Mengen von reellen Zahlen (als Untermengen der reellen Zahlen) übertragen: Sei

 

die Menge der reellen Zahlen kleiner als 2. Dann ist 2 das Supremum von   (in  ). Denn 2 ist eine obere Schranke von  , da sie größer oder gleich (tatsächlich sogar echt größer) als jedes Element von   ist – also „darüberliegt“. Aber im Gegensatz etwa zu der Zahl 4, die auch eine obere Schranke ist, gibt es keine Zahl kleiner als 2, die auch obere Schranke von   ist. Daher ist 2 kleinste obere Schranke von  , mithin Supremum.

Durch eine kleine Abänderung wird sodann die Verwandtschaft von Supremum und Maximum deutlich. Das Maximum ist nämlich das größte Element „unter allen Elementen“ einer Menge:

Offenbar hat   kein Maximum, da es zu jeder reellen Zahl   wieder eine reelle Zahl   gibt, die größer als   ist, z. B. mit der Wahl  . Die Zahl 2 ist als Supremum zwar größer als alle Elemente von  , liegt aber nicht in  , da sie nicht echt kleiner als sie selbst ist. Betrachten wir nun die Menge

 ,

so ist 2 Maximum von  , da sie kleiner-gleich als sie selbst ist und es auch keine größere Zahl als 2 gibt, die kleiner-gleich 2 ist. Gleichfalls ist 2 aber auch Supremum von   wie schon von  , da dieselben Bedingungen wie dort erfüllt sind.

Tatsächlich ist jedes Maximum immer auch Supremum. Daher ist es auch üblich, den Begriff Maximum gar nicht elementar zu definieren, sondern ihn als Sonderfall des Supremums zu benennen, wenn dieses selbst Element der Menge ist, dessen Supremum es darstellt. – Analog gilt das für das Minimum.

Im AllgemeinenBearbeiten

Obere und untere Schranken sowie Suprema und Infima können jedoch nicht nur auf den reellen Zahlen, sondern allgemein auf halbgeordneten Mengen betrachtet werden. Die formalen Definitionen lauten wie folgt:

Ist   eine halbgeordnete Menge mit Halbordnung   und   eine Teilmenge von   so gilt:

Obere Schranke
Ein Element   heißt obere Schranke von  , wenn   für alle   gilt.
Untere Schranke
Analog heißt   untere Schranke von  , wenn   für alle   gilt.
nach oben bzw. unten beschränkte Menge
Existiert eine obere (untere) Schranke von  , so heißt   nach oben (unten) beschränkt.
nach oben bzw. unten unbeschränkte Menge
Ist   nicht nach oben (unten) beschränkt, so heißt   nach oben (unten) unbeschränkt.
beschränkte Menge
  heißt beschränkt, falls   nach oben und unten beschränkt ist, andernfalls unbeschränkt oder nicht-beschränkt. Das heißt:   ist unbeschränkt (oder nicht-beschränkt), wenn   entweder nach oben oder nach unten oder nach oben und unten unbeschränkt ist. Soll ausgedrückt werden, dass eine Menge sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist, so muss die Menge ausdrücklich als nach oben und unten unbeschränkt beschrieben werden.
Supremum
Ein Element   heißt Supremum von  , wenn   eine kleinste obere Schranke von   ist.
Infimum
Es heißt Infimum von  , wenn es eine größte untere Schranke von   ist.

Ist   die Menge der reellen Zahlen, so gilt:

  • Ist   nach oben beschränkt und nicht leer, dann besitzt   eine kleinste obere Schranke (Beweisidee unten) und man nennt sie obere Grenze oder Supremum von   – in Zeichen  .
  • Ist   nach unten beschränkt und nicht leer, dann besitzt   eine größte untere Schranke (Beweis analog) und man nennt sie untere Grenze oder Infimum von   – in Zeichen  .
  • Falls   nach oben beschränkt und das Supremum von   in   enthalten ist, bezeichnet man das Supremum auch als Maximum von  , in Zeichen  .
  • Falls   nach unten beschränkt und das Infimum von   in   enthalten ist, bezeichnet man das Infimum auch als Minimum von  , in Zeichen  .
  • Ist   nach oben unbeschränkt, schreibt man:   (siehe Unendlichkeit).
    Das Symbol +∞ ist dabei aber keine reelle Zahl und auch nicht das Supremum von   im hier definierten Sinne:   als Supremumswert ist gerade die formale Schreibweise dafür, dass kein Supremum vorhanden ist, siehe auch bei erweiterte reelle Zahlen. Gelegentlich wird in diesem Zusammenhang   auch als „uneigentliches Supremum“ bezeichnet.
  • Ist   nach unten unbeschränkt, schreibt man analog:  .

Suprema (und Infima) von AbbildungenBearbeiten

Abbildungen allgemeinBearbeiten

Der Begriff des Supremums auf Mengen wird sinngemäß auch auf Abbildungen (Funktionen) angewendet. Denn das Bild einer Abbildung ist ja immer auch eine Menge. Nämlich für eine Abbildung

 

die Menge

 

der sogenannten Elementbilder, d. h. der Bilder der einzelnen Elemente von   unter der Abbildung  .

  wird auch Bild der Funktion   genannt.

Ist nun   eine halbgeordnete Menge, so definiert man

 

als das Supremum von   auf   – sofern es in   existiert.

Analog wird das Infimum von   auf   definiert.

Die definierende Eigenschaft des Supremums kann als monotone Galoisverbindung   zwischen   und   formuliert werden: für alle   und   gilt

 .

Hierbei ist   mit der punktweisen Ordnung ausgestattet und  .

Analog gilt  .

Folgen als AbbildungenBearbeiten

Fasst man eine Folge   von Elementen aus   als Abbildung

 

auf – also gemäß

 

– so ergibt sich aus der Definition des Supremums (Infimums) von Abbildungen sofort die Definition des Supremums (Infimums) einer Folge   – sofern es in   existiert.

EigenschaftenBearbeiten

Eindeutigkeit und ExistenzBearbeiten

Ist   eine obere Schranke von   und  , so ist auch   eine obere Schranke von  . Ist umgekehrt   keine obere Schranke von   und  , so ist auch   keine obere Schranke von  . Analoges gilt für untere Schranken.

Das Supremum von   ist (im Falle seiner Existenz) eindeutig bestimmt. Dasselbe gilt für das Infimum von  .

Es ist möglich, dass eine Teilmenge   einer halbgeordneten Menge   mehrere minimale obere Schranken hat, d. h. obere Schranken, so dass jedes kleinere Element keine obere Schranke ist. Sobald   jedoch mehr als eine minimale obere Schranke hat, gibt es keine kleinste obere Schranke, d. h. kein Supremum, von  . Ein Beispiel ist die Menge   mit der Halbordnung  . Hier hat   die beiden minimalen oberen Schranken   und  .

Eigenschaften in Bezug auf eine Epsilon-UmgebungBearbeiten

Sei   eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen, dann gilt außerdem für das

  • Supremum von  :
  1. Wenn  , so existiert für alle   ein  , so dass   ist.
  2. Wenn  , so existiert für alle   ein  , so dass  .
  • Infimum von  :
  1. Wenn  , so existiert für alle   ein  , so dass   ist.
  2. Wenn  , so existiert für alle   ein  , so dass  .

Erstellung konvergenter FolgenBearbeiten

  • Sei   eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen mit einem Supremum  . Dann lässt sich aus geeignet gewählten Elementen von   eine Folge   erstellen, die gegen   konvergiert.
Beweis:   sei eine Nullfolge,   ist eine konstante Folge. Mit den Rechenregeln für Grenzwerte konvergiert die Folge   „von unten“ gegen  . Wegen der im vorhergehenden Abschnitt genannten „Eigenschaft des Supremums in Bezug auf eine Epsilon-Umgebung“ existieren die Glieder   einer Folge   die mit   zwischen   und   eingeschlossen ist. Also konvergiert   wie die einschließenden Folgen gegen  .
  • Sei   eine nichtleere Teilmenge der reellen Zahlen mit einem Infimum  . Dann lässt sich aus geeignet gewählten Elementen von   eine Folge   erstellen, die gegen   konvergiert.
Beweis:   ist eine konstante Folge,   sei eine Nullfolge. Mit den Rechenregeln für Grenzwerte konvergiert die Folge   „von oben“ gegen  . Wegen der im vorhergehenden Abschnitt genannten „Eigenschaft des Infimums in Bezug auf eine Epsilon-Umgebung“ existieren die Glieder   einer Folge  , die mit   zwischen   und   eingeschlossen ist. Also konvergiert   wie die einschließenden Folgen gegen  .

Bemerkungen:

  • Weder   noch   müssen monoton sein.
  • Ist   von endlicher Mächtigkeit, so ist das Supremum ein Maximum (bzw. das Infimum ein Minimum), und fast alle   sind dem Supremum (bzw. Infimum) gleich.

Existenz des Supremums für beschränkte Teilmengen der reellen ZahlenBearbeiten

Die Existenz des Supremums für eine beschränkte Teilmenge   der reellen Zahlen kann auf mehrere Arten gezeigt werden:

A. Zum einen kann man die Existenz von Supremum und Infimum für beschränkte Teilmengen der reellen Zahlen einfach als Axiom festlegen. Diese Forderung wird oft Supremumsaxiom oder Vollständigkeitsaxiom genannt.

B. Geht man von dem Axiom aus, dass jede Intervallschachtelung genau eine reelle Zahl definiert, kann zum Nachweis der Existenz des Supremums   von   eine Intervallschachtelung   dienen, für die kein   obere Schranke von   ist, aber jedes   eine solche. 

Eine solche Intervallschachtelung definiert eine Zahl  , und die Folgen   und   konvergieren gegen  .[1] Ein beliebiges   ist wegen   größer als fast alle  . Da jedes   obere Schranke von   ist, ist  . Also ist   eine obere Schranke von  . Zu überlegen bleibt, ob nicht auch ein   obere Schranke von   sein kann. Wegen   sind fast alle   größer als  . Da kein   obere Schranke von   ist, ist auch   keine solche. Also ist   das behauptete Supremum von  . - Zu zeigen bleibt, dass eine Intervallschachtelung   existiert, die der Bedingung (i) genügt.

Hierzu sei eine Intervallfolge   rekursiv definiert. Für das erste Intervall sei   eine beliebige Zahl, die kleiner als ein beliebiges Element von   ist,   eine beliebige obere Schranke von  .   ist der Mittelpunkt des  -ten Intervalls der Folge. Die Grenzen des jeweils folgenden Intervalls   seien,

  • falls   keine obere Schranke von   ist:  ;
  • falls   eine obere Schranke von   ist:  .

Für eine solche Intervallfolge gilt:   ist eine obere Schranke von  ,   nicht. Beim Übergang von   zu   ersetzt   genau dann eine Intervallgrenze, die obere Schranke von   ist, wenn   selbst obere Schranke von   ist; wenn aber   keine obere Schranke von   ist, ersetzt   eine Intervallgrenze, die auch keine solche ist. Also[2] ist jedes  , aber kein   obere Schranke von  , und die Intervallfolge   erfüllt die Bedingung (i). - Zu zeigen bleibt, dass   eine Intervallschachtelung ist.

Behauptung:   ist monoton steigend  .

Beweis: Für   ist nichts zu beweisen. Für   folgt aus  :  .

Behauptung:   ist monoton fallend  .

Beweis: Für   ist nichts zu beweisen. Für   folgt aus  :  .

Behauptung:  ,   ist eine Nullfollge.  . - Beweis:

  • Falls   keine obere Schranke von   ist, ist  ;
  • falls   eine obere Schranke von   ist, ist  .

Also können alle   auch   geschrieben werden, und   ist wegen   eine (geometrische) Nullfolge.[3]

Mit (1), (2) und (3) ist   eine Intervallschachtelung, q. e. d.

C. Eine äquivalente Formulierung zur Existenz des Supremums ist das Schnittaxiom, nachdem jeder Dedekindsche Schnitt von einer reellen Zahl erzeugt wird.

BeispieleBearbeiten

Reelle ZahlenBearbeiten

Folgende Beispiele beziehen sich auf Teilmengen der reellen Zahlen.

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •   bzw.  , wobei  

Andere halbgeordnete MengenBearbeiten

Auf   hat jede nicht-leere nach oben bzw. unten beschränkte Teilmenge ein Supremum bzw. Infimum. Betrachtet man andere Mengen, auf denen Ordnungsrelationen definiert sind, so ist dies nicht zwingend:

  • Die Menge   der rationalen Zahlen ist bezüglich der natürlichen Ordnung total geordnet. Die Menge   ist beispielsweise durch die Zahl   nach oben beschränkt, hat aber kein Supremum in  .
  • In beliebigen halbgeordneten Mengen   ist jedes Element sowohl untere als auch obere Schranke der leeren Menge  . Daher ist   das größte Element von   und   das kleinste. Größte und kleinste Elemente müssen jedoch nicht existieren: In der Menge   der natürlichen Zahlen mit der üblichen Ordnung hat   kein Infimum, und es ist  .
  • In der bezüglich Inklusion partiell geordneten Menge   ist die Menge   sowohl durch das Element   als auch durch   nach oben beschränkt. Ein Supremum, also eine kleinste obere Schranke von  , existiert in   jedoch nicht.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Infimum and supremum – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Intervallschachtelung#Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung
  2. Der Gedankengang ist eine vollständige Induktion.
  3. Weiteres zur Konvergenz bestimmter geometrischer Folgen hier.