Jacobi-Varietät

Mathematische Konstruktion

Die Jacobi-Varietät ist ein komplexer -dimensionaler Torus und wird in der Funktionentheorie betrachtet. Der Name geht auf den Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi zurück, der die Theorie der elliptischen Funktionen entwickelte, in welcher diese Varietät eine wichtige Rolle spielt. Dieses Objekt findet insbesondere Anwendung im Satz von Abel und im jacobischen Umkehrproblem.

DefinitionBearbeiten

PeriodengitterBearbeiten

Sei   eine kompakte riemannsche Fläche mit Geschlecht   und sei   die Fundamentalgruppe von  . Es sei   eine Basis der holomorphen Differentialformen. Dann heißt

 

das Periodengitter von  .

Aufgrund der Linearität des Integrals erhält man sofort eine additive Gruppenstruktur auf  . Das Periodengitter ist ein echtes Gitter.

Jacobi-VarietätBearbeiten

Es sei wie in der obigen Definition   eine kompakte riemannsche Fläche mit Geschlecht   und   eine Basis von  . Dann heißt

 

Jacobi-Varietät von  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Da sowohl   als auch   eine additive Gruppenstruktur besitzen, kann man   als Quotient zweier Gruppen auffassen. Es handelt sich algebraisch also um eine Faktorgruppe.
  • Da   aber ebenfalls ein Gitter ist, kann man   als einen  -dimensionalen Torus auffassen, auf welchem man eine Struktur einer komplexen Mannigfaltigkeit definieren kann.
  • Zusammengenommen ist die Jacobi-Varietät eine Lie-Gruppe.

LiteraturBearbeiten