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In der Funktionentheorie ist eine biholomorphe oder schlichte Abbildung eine bijektive holomorphe Abbildung mit holomorpher Umkehrabbildung. Manchmal versteht man jedoch unter einer schlichten Abbildung auch eine injektive (nicht notwendigerweise bijektive), holomorphe Abbildung.[1]

Inhaltsverzeichnis

EigenschaftenBearbeiten

  • Eine bijektive holomorphe Abbildung ist immer biholomorph. Im eindimensionalen Fall folgt dies direkt aus dem Satz über implizite Funktionen, in höheren Dimensionen aus dem Satz von Osgood.
  • Im eindimensionalen Fall ist eine biholomorphe Abbildung eine konforme Abbildung. Umgekehrt ist eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung von Gebieten der komplexen Ebene, die konform und orientierungserhaltend ist und deren Ableitung nicht verschwindet, ebenfalls biholomorph.
  • Eine biholomorphe Abbildung ist eigentlich.

Eindimensionale BeispieleBearbeiten

Die lineare FunktionBearbeiten

  (mit   als komplexen Zahlen) ergibt
  • für   und   eine Verschiebung (Translation)
  • für   reell und positiv eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor   und Streckzentrum  ;
 
Abb. 1 Polarkoordinaten von z
  • für   und   eine Drehung. Verwendet man nämlich Polarkoordinaten für die Zahl  , so kann der „Punkt“   durch   gekennzeichnet werden (s. Abb. 1). Weil
 

ist, erhält man mit der Eulerformel

 
 .

Wenn   gesetzt wird, ist   und somit

 .

Der Punkt   (mit dem Argument (Bogenmaß) φz und dem Betrag r = rz) geht somit in den Punkt   (mit φaz) und dem Betrag rz über, das ist eine Drehung.

  • für   und   eine Drehstreckung.

Beispielsweise führt die Drehstreckung   den Punkt   in den Bildpunkt   über. Die Bildpunkte zweier weiterer Punkte, die mit dem ersten ein Dreieck bilden können, lassen sich ebenso berechnen, so dass das Bilddreieck gezeichnet werden kann und damit diese Drehstreckung sich leicht veranschaulichen lässt.

  • für   und   eine Drehstreckung mit Verschiebung.

InversionBearbeiten

Die Abbildung

 

heißt Inversion oder Kreisspiegelung. Bei ihr wird das Innere des Kreises mit Radius = 1 (sog. Einheitskreis) auf das Äußere, das Äußere in das Innere abgebildet, der Rand des Kreises geht in sich selber über. 1 und −1 werden auf 1 und −1 abgebildet, das sind die beiden Fixpunkte der Inversion.

QuadratfunktionBearbeiten

Bei der Quadratfunktion

 

ist   nicht Null, wenn z nicht Null ist. Wählt man Definitions- und Zielbereich so, dass die Null nicht enthalten ist und die Einschränkung von   bijektiv ist, erhält man folglich eine biholomorphe Abbildung. Man kann beispielsweise

 

wählen, also als Definitionsbereich die rechte Halbebene und als Zielbereich die entlang der negativen reellen Achse geschlitzte Ebene.

Aus w = u + iv = (x + iy)2 = x2 - y2 + (2xy)i ergibt der Vergleich der Koeffizienten bei Real- und Imaginärteil

u = x2 - y2 und v = 2xy.

Die zur x-Achse symmetrisch liegenden Hyperbeln (vgl. Abb. 2)

 
Abb. 2 Hyperbelschar und Parallelenschar

x2 - y2 = const gehen in vertikale Parallelen u = const über. Die zur ersten Winkelhalbierenden symmetrisch liegenden Hyperbeln 2xy = const gehen in waagrecht verlaufende Parallelen über.

LiteraturBearbeiten

  • Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).
  • Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Heidelberger Taschenbücher 184), (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces. Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7 [Graduate Texts in Mathematics, 81]).

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Klas Diederich, Reinhold Remmert: Funktionentheorie I. Springer, Berlin 1972.