Segre-Einbettung

Die Segre-Einbettung ist eine Abbildung, die in der algebraischen Geometrie verwendet werden kann, um dem kartesischen Produkt zweier projektiver Varietäten die Struktur einer projektiven Varietät zu geben. Die Segre-Einbettung ist nach Corrado Segre benannt.

DefinitionBearbeiten

Definition in homogenen KoordinatenBearbeiten

Sei   ein algebraisch abgeschlossener Körper,   der  - und   der  -dimensionale projektive Raum über   mit homogenen Koordinaten   und  .

Die Segre-Einbettung   von   und   ist definiert als

 ,

wobei die   nach der lexikographischen Ordnung angeordnet sind.

Das Bild   wird als Segre-Varietät bezeichnet.[1]

Koordinatenfreie DefinitionBearbeiten

Es ist auch möglich, die Segre-Einbettung koordinatenfrei zu definieren. Für endlichdimensionale  -Vektorräume   und   und die zugehörigen projektiven Räume   und   definiert man die Segre-Einbettung   mit Hilfe des Tensorprodukts   als[2]

 .

EigenschaftenBearbeiten

Die Segre-Einbettung   ist eine wohldefinierte injektive Abbildung, deren Bild   eine abgeschlossene, irreduzible Teilmenge ist.

Somit ist die Segre-Varietät   tatsächlich eine projektive Varietät. Das dazugehörige homogene Ideal   lässt sich explizit angeben. Bezeichnen wir die homogenen Koordinaten auf   mit  , so erhalten wir

 .

Die Segre-Varietät kann also auch als Nullstellenmenge der   Minoren der Matrix   aufgefasst werden und ist damit eine spezielle Determinantenvarietät.

Produkte in der Kategorie der (quasi-)projektiven VarietätenBearbeiten

Sind  ,   (lokal-)abgeschlossene Teilmengen, so ist auch   (lokal-)abgeschlossen.

Da   bijektiv ist, kann damit auf   die Struktur einer (quasi-)projektiven Varietät definiert werden, indem man die Struktur mit Hilfe der Bijektion   überträgt.

Die dadurch definierte (quasi-)projektive Varietät   ist ein Produkt im Sinne der Kategorientheorie.[3][4]

Hat man alternativ dazu die Produkte auf einem anderen Weg definiert, so kann man zeigen, dass die Segre-Einbettung eine abgeschlossene Einbettung ist, was sie im obigen Weg per Definition ist.[5]

BeispieleBearbeiten

QuadrikBearbeiten

Im einfachsten Fall erhalten wir für   eine Einbettung des Produktes der projektiven Geraden nach  . Die Segre-Varietät   ist dann eine Quadrik. Bezeichnet man die homogenen Koordinaten   mit  , so erhält man die Quadrik als Nullstellenmenge der Determinante

 [6]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.11.
  2. Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, S. 49.
  3. Harris: Algebraic Geometry. 1992, Example 2.21.
  4. Hartshorne: Algebraic Geometry. 1977, Exercise 3.16.
  5. Fiesler, Kaup: Algebraische Geometrie. 2005, Aufgabe 4.7.
  6. Harris: Algebraic Geometry. 1992,Example 2.11.

LiteraturBearbeiten