Graßmann-Mannigfaltigkeit

Parametrisierung von Unterräumen eines Vektorraums in der Geometrie
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Graßmann-Mannigfaltigkeiten (auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes und stellen damit eine Verallgemeinerung des projektiven Raumes dar. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Vektorraum über einem Körper  . Dann bezeichnet

 

die Menge der  -dimensionalen Untervektorräume von  . Falls    -dimensional ist, bezeichnet man   auch mit

 .

Wirkung der orthogonalen/unitären und linearen GruppeBearbeiten

Im Fall   wirkt die orthogonale Gruppe

 

auf   durch

 .

Die Wirkung ist transitiv, die Stabilisatoren sind konjugiert zu

 .

Man erhält also eine Bijektion zwischen   und dem homogenen Raum

 .

Im Fall   wirkt die unitäre Gruppe   transitiv und liefert eine Bijektion der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit

 .

TopologieBearbeiten

Als reelle Graßmann-Mannigfaltigkeit (der  -dimensionalen Unterräume im  ) bezeichnet man   mit der durch die Identifikation mit

 

gegebenen Topologie.

Als komplexe Graßmann-Mannigfaltigkeit   bezeichnet man entsprechend

 .

Die kanonische Inklusion   induziert eine Inklusion  . Man definiert

 

als induktiven Limes der   mit der Limes-Topologie.

Algebraische VarietätBearbeiten

Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.

Tautologisches BündelBearbeiten

Sei   der projektive Limes bezüglich der kanonischen Inklusionen und definiere

 .

Dann ist die Projektion auf den ersten Faktor ein Vektorbündel

 ,

welches als tautologisches oder universelles r-dimensionales Vektorbündel bezeichnet wird.

Klassifizierende AbbildungBearbeiten

Zu jedem r-dimensionalen Vektorbündel   gibt es eine stetige Abbildung

 ,

so dass   das Pullback des tautologischen Bündels   unter   ist.

Im Fall des Tangentialbündels   einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit   hat man die folgende explizite Beschreibung der klassifizierenden Abbildung: Nach dem Einbettungssatz von Whitney kann man annehmen, dass   eine Untermannigfaltigkeit eines   ist. Die Tangentialebene   in einem Punkt   ist dann von der Form

 

für einen Untervektorraum  . Die Zuordnung

 

definiert eine stetige Abbildung

 

und man kann zeigen, dass

 

ist.

Klassifizierender Raum für PrinzipalbündelBearbeiten

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit   ist der klassifizierende Raum für Prinzipalbündel mit Strukturgruppen  . Und damit auch für Prinzipalbündel mit Strukturgruppe  , denn weil die Inklusion   eine Homotopieäquivalenz ist, lässt sich jedes  -Bündel auf die Strukturgruppe   reduzieren. Es gilt also:

 .

Die kanonische Projektion von der Stiefel-Mannigfaltigkeit   nach  , welche Repere jeweils auf den von ihnen erzeugten Unterraum abbildet, ist das universelle  -Bündel. (Das tautologische Bündel   ergibt sich aus dem universellen  -Bündel als assoziiertes Vektorbündel durch die kanonische Wirkung von   auf dem Vektorraum  .)

Der Kolimes der Folge von Inklusionen

 

wird als   oder   bezeichnet. Gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen

 .

Mittels Bott-Periodizität kann man die Homotopiegruppen dieses Raumes berechnen.

Schubert-KalkülBearbeiten

Das Cup-Produkt im Kohomologiering der Graßmann-Mannigfaltigkeiten kann mittels Schubert-Kalkül bestimmt werden.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten