Stiefel-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel, die Basen der Unterräume eines Vektorraumes.

In der Mathematik parametrisieren Stiefel-Mannigfaltigkeiten, benannt nach Eduard Stiefel, die Orthonormalbasen der Unterräume eines Vektorraumes.

Definition

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Sei   oder   der (Schief-)Körper der reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen und sei   ein  -dimensionaler  -Vektorraum. Sei  .

Dann ist die Stiefel-Mannigfaltigkeit   definiert als Menge aller  -Tupel orthonormaler Vektoren.

Die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit wird definiert als Menge der  -Tupel linear unabhängiger Vektoren. Die Inklusion von   in die nichtkompakte Stiefel-Mannigfaltigkeit ist eine Homotopieäquivalenz.

Wirkung der linearen Gruppe

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Die Gruppe   wirkt transitiv auf der nichtkompakten Stiefel-Mannigfaltigkeit mit Stabilisator  , man erhält also eine Bijektion mit

 .

Auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit   wirken sogar die orthogonalen bzw. unitären Gruppen bereits transitiv und man erhält Bijektionen

 

Topologie

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Man benutzt die obigen Bijektionen, um auf   eine Topologie zu definieren, mit der die Bijektion zu einem Homöomorphismus wird. Mit dieser Topologie werden die   zu Mannigfaltigkeiten der folgenden Dimensionen:

 
 
 

Äquivalent kann man die Topologie auch definieren durch die kanonische Identifizierung von   mit einem Unterraum von  .

Prinzipalbündel über der Graßmann-Mannigfaltigkeit

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Die Graßmann-Mannigfaltigkeit   ist die Menge der  -dimensionalen Untervektorräume des  .

Jedem  -Tupel linear unabhängiger Vektoren kann man den von ihm erzeugten Untervektorraum zuordnen, auf diese Weise definiert man eine Projektion

 .

Die so definierten Projektionen sind Prinzipalbündel

 

Stiefel-Mannigfaltigkeiten in der diskreten Mathematik

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Der Graph-Homomorphismen-Komplex   ist homöomorph zur Stiefel-Mannigfaltigkeit   (Csorba-Vermutung, bewiesen von Schultz).[1]

Stiefel-C-Mannigfaltigkeit

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Die Stiefel-C-Mannigfaltigkeit ist eine leichte Verallgemeinerung der Stiefel-Mannigfaltigkeit und definiert als

 

wobei   eine positiv definite  -Matrix ist.[2]

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Small models of graph colouring manifolds and the Stiefel manifold Hom(C5,Kn) pdf
  2. Thomas D. Down: Orientation statistics. In: Biometrika. Band 59, 1972, S. 665–676.