Picardgruppe

Teilgebiete Mathematik

Die Picardgruppe ist ein Begriff aus den mathematischen Teilgebieten der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie. Sie ist eine wichtige Invariante von kommutativen Ringen mit Eins und Schemata. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Émile Picard.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Die Picardgruppe von RingenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Modul über einem Ring  , so wird   projektiv vom Rang 1 genannt, wenn er projektiv ist und lokal vom Rang 1 ist, wenn also für alle Primideale von   gilt:

 

Sind   und   projektiv vom Rang 1, dann auch

 

und der duale Modul

 

Es gilt:

 

und

 

Die Isomorphieklassen von projektiven Moduln vom Rang 1 über einem Ring   bilden daher eine Gruppe. Diese wird als Picardgruppe bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

Pic als FunktorBearbeiten

Ein Ringhomomorphismus

 

induziert einen Gruppenhomomorphismus

 
 

denn durch   wird   zu einer  -Algebra. Ist   ein projektiver Modul vom Rang 1 über  , so ist

 

ein projektiver Modul vom Rang   über  .

  ist ein kovarianter Funktor.

Die Picardgruppe und die IdealklassengruppeBearbeiten

Im Folgenden sei   eine multiplikative Menge ohne Nullteiler. (Eine Menge   ist multiplikativ, wenn   und  .) Ein  -Ideal ist ein  -Untermodul   von  , für das es ein Element   gibt, sodass

 

Bezeichne

 

die Menge der invertierbaren S-Ideale von   und

 

die Menge der invertierbaren Hauptideale.

 

wird als die  -Idealklassengruppe bezeichnet.

Es existiert eine exakte Folge:

 

Um also die Picardgruppe als Idealklassengruppe darzustellen, muss eine multiplikative Menge ohne Nullteiler gefunden werden, sodass

 

ist.

Wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

  •   ist ein Integritätsring und  
  •   ist ein reduzierter Ring, der nur endlich viele minimale Primideale   hat und
 
  •   ist noethersch und
 

Dann ist die Picardgruppe von   gleich der  -Idealklassengruppe von  .

Die Picardgruppe eines SchemasBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Die Definition für Ringe lässt sich auf geringte Räume, insbesondere auf Schemata übertragen.

Eine invertierbare Garbe eines geringten Raumes ist eine lokal freie Modulgarbe vom Rang 1.

Sind   und   invertierbare Garben auf einem geringten Raum, dann ist auch   eine invertierbare Garbe. Außerdem gibt es eine invertierbare Garbe

 

sodass

 

Ferner gilt:

 

Die Picardgruppe eines geringten Raumes, insbesondere eines Schemas, ist die Gruppe der Isomorphismenklasse von invertierbaren Garben mit dem Tensorprodukt als Verknüpfung.

EigenschaftenBearbeiten

Die Picardgruppe ist isomorph zur ersten Kohomologiegruppe:

 

BeispielBearbeiten

Ist

 

der projektive Raum über einem Körper, so ist

 

LiteraturBearbeiten