Hauptmenü öffnen

In der Algebraischen Geometrie beschreibt der klassische Satz von Bézout die Anzahl der Schnittpunkte ebener algebraischer Kurven. Er wurde von Étienne Bézout im 18. Jahrhundert formuliert und (im Rahmen der laxeren Ansprüche jener Zeit) bewiesen.

Inhaltsverzeichnis

AussageBearbeiten

Sei   ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien   und   zwei projektive ebene Kurven im zweidimensionalen projektiven Raum   ohne gemeinsame Komponenten. Dann gilt:

 

wobei   die Schnittzahl bezeichnet.

FolgerungenBearbeiten

  • Zwei projektive ebene Kurven   und   schneiden sich immer in mindestens einem Punkt und maximal in   verschiedenen Punkten.
  • Für affine ebene Kurven   und   ohne gemeinsame Komponenten gilt die Ungleichung  .

VerallgemeinerungBearbeiten

Eine Verallgemeinerung für algebraische Varietäten lautet wie folgt:

Seien  ,   algebraische Varietäten vom Grad   bzw.   im  -dimensionalen projektiven Raum  . Ferner sei   eine Varietät der Dimension  .

Dann ist  .

WeblinksBearbeiten

  Wikiversity: Ein Beweis des Satzes im ebenen Fall – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

LiteraturBearbeiten

Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie, 1. Auflage, 2000, ISBN 978-3-528-03156-5, S. 145–146.