Dreiecksungleichung

mathematischer Satz aus der Geometrie

Die Dreiecksungleichung ist in der Geometrie ein Satz, der besagt, dass eine Dreiecksseite höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Das „höchstens“ schließt dabei den Sonderfall der Gleichheit ein. Die Dreiecksungleichung spielt auch in anderen Teilgebieten der Mathematik wie der Linearen Algebra oder der Funktionalanalysis eine wichtige Rolle.

Formen der Dreiecksungleichung

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Für allgemeine Dreiecke

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Dreieck

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten   und   stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite  :

 .

Man kann auch sagen, der Abstand von A nach B ist stets höchstens so groß wie der Abstand von A nach C und von C nach B zusammen, oder um es alltagssprachlich auszudrücken: „Der direkte Weg ist immer der kürzeste.“

Das Gleichheitszeichen gilt dabei nur, wenn   und   Teilstrecken von   sind – man spricht dann auch davon, dass das Dreieck „entartet“ sei.

Da aus Symmetriegründen auch   gilt, folgt  , analog erhält man  , insgesamt also

 .

Die linke Ungleichung   wird gelegentlich auch als umgekehrte Dreiecksungleichung bezeichnet.

Die Dreiecksungleichung charakterisiert Abstands- und Betragsfunktionen. Sie wird daher als ein Axiom für abstrakte Abstandsfunktionen in metrischen Räumen gesetzt.

Für rechtwinklige Dreiecke

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Ist   die Hypotenusenlänge und sind   und   die Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, so gilt die spezielle Dreiecksungleichung  .[1][2]

Für reelle Zahlen

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Für reelle Zahlen   und   gilt:  

Beweis

Seien   und   reelle Zahlen. Entweder es ist   oder es ist  . Für den Fall   gilt  , und die Summe   lässt sich wegen   und   nach oben abschätzen durch  . Insgesamt folgt somit  . Für den Fall   gilt  , und   lässt sich wegen   und   ebenfalls durch   nach oben abschätzen, so dass auch in diesem Fall  .

Umgekehrte Dreiecksungleichung

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Wie beim Dreieck lässt sich auch eine umgekehrte Dreiecksungleichung herleiten:

Aufgrund der Dreiecksungleichung gilt   Einsetzen von   gibt

 

Setzt man stattdessen   so ergibt sich

 

zusammen also (denn für beliebige reelle Zahlen   und   mit   und   gilt auch  )

 

Ersetzt man   durch   so erhält man auch

 

Insgesamt also

  für alle  

Für komplexe Zahlen

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Für komplexe Zahlen gilt:

 

Beweis

Da alle Seiten nichtnegativ sind, ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung und man erhält
 
wobei der Überstrich komplexe Konjugation bedeutet. Streicht man identische Terme und setzt   so bleibt
 
zu zeigen. Mit   erhält man
 
bzw.
 
was wegen   und der Monotonie der (reellen) Wurzelfunktion immer erfüllt ist.

Analog zum reellen Fall folgt aus dieser Ungleichung auch

  für alle  

Von Betragsfunktionen für Körper

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Zusammen mit anderen Forderungen wird eine Betragsfunktion für einen Körper   auch durch die

Dreiecksungleichung  

etabliert. Sie hat zu gelten für alle   Sind alle Forderungen (s. Artikel Betragsfunktion) erfüllt, dann ist   eine Betragsfunktion für den Körper  

Ist   für alle ganzen  , dann nennt man den Betrag nichtarchimedisch, andernfalls archimedisch.

Bei nichtarchimedischen Beträgen gilt die

verschärfte Dreiecksungleichung  

Sie macht den Betrag zu einem ultrametrischen. Umgekehrt ist jeder ultrametrische Betrag nichtarchimedisch.

Für Summen und Integrale

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Mehrmalige Anwendung der Dreiecksungleichung bzw. vollständige Induktion ergibt

 

für reelle oder komplexe Zahlen  . Diese Ungleichung gilt auch, wenn Integrale anstelle von Summen betrachtet werden:

Ist   eine Riemann-integrierbare Funktion, dann gilt

 .[3]

Dies gilt auch für komplexwertige Funktionen  , vgl.[4] Dann existiert nämlich eine komplexe Zahl  , so dass

  und  .

Da

 

reell ist, muss   gleich Null sein. Außerdem gilt

 ,

insgesamt also

 .

Für Vektoren

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Für Vektoren gilt:

 .

Die Gültigkeit dieser Beziehung sieht man durch Quadrieren

 ,

unter Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

 .

Auch hier folgt wie im reellen Fall

 

sowie

 

Für sphärische Dreiecke

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Zwei sphärische Dreiecke

In sphärischen Dreiecken gilt die Dreiecksungleichung im Allgemeinen nicht.

Sie gilt jedoch, wenn man sich auf eulersche Dreiecke beschränkt, also solche, in denen jede Seite kürzer als ein halber Großkreis ist.

In nebenstehender Abbildung gilt zwar

 

jedoch ist  .

Für normierte Räume

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In einem normierten Raum   wird die Dreiecksungleichung in der Form

 

als eine der Eigenschaften gefordert, die die Norm für alle  erfüllen muss. Insbesondere folgt auch hier

 

sowie

  für alle  .

Im Spezialfall der Lp-Räume wird die Dreiecksungleichung Minkowski-Ungleichung genannt und mittels der Hölderschen Ungleichung bewiesen.

Für metrische Räume

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In einem metrischen Raum   wird als Axiom für die abstrakte Abstandsfunktion verlangt, dass die Dreiecksungleichung in der Form

 

für alle   erfüllt ist. In jedem metrischen Raum gilt also per Definition die Dreiecksungleichung. Daraus lässt sich ableiten, dass in einem metrischen Raum auch die umgekehrte Dreiecksungleichung

 

für alle   gilt. Außerdem gilt für beliebige   die Ungleichung

 .

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 18
  2. Canadian Mathematical Olympiad 1969 Problem 3, veröffentlicht von der Canadian Mathematical Society
  3. Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis, Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6. Satz 85.1
  4. Walter Rudin: Real and Complex Analysis. MacGraw-Hill, 1986, ISBN 0-07-100276-6. Theorem 1.33