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(Algebraische) Funktionenkörper sind in der Mathematik algebraische Entsprechungen geometrischer Objekte. Funktionenkörper über endlichen Körpern spielen auch in der algebraischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle.

Algebraische DefinitionBearbeiten

Es sei   ein Körper. Dann heißt ein transzendenter Erweiterungskörper   von endlichem Transzendenzgrad ein (algebraischer) Funktionenkörper.

Der algebraische Abschluss von   in   heißt Konstantenkörper.

Funktionenkörper im engeren Sinne sind Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1 über einem endlichen Körper. Zusammen mit den algebraischen Zahlkörpern bilden sie die Klasse der globalen Körper.

Geometrische DefinitionBearbeiten

Ist   ein ganzes algebraisches Schema über einem Körper  , so heißt der Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt Funktionenkörper von  . Er ist ein Funktionenkörper über   im algebraischen Sinne.

BeispielBearbeiten

Die rationalen Funktionen auf einer (irreduziblen) Varietät bilden einen Funktionenkörper.